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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 36

Sejam { v 1 → , … ,   v n → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → W uma transformação linear. Mostre que se

T v 1 → = … = T v n → = 0 →

Então T é a transformação nula.

Passo 1

Já que { v 1 → , v 2 → … ,   v n → } é a base de V , então vamos gerar um novo vetor qualquer v → . Esse vetor qualquer é do seguinte formato:

v → = a 1 ⋅ v 1 → + a 2 ⋅ v 2 → + … + a n v n →

onde a 1 , a 2 , … ,   a n de são valores quaisquer.

Então, vamos aplicar a transformação linear neste vetor:

T v → = T a 1 ⋅ v 1 → + a 2 ⋅ v 2 → + … + a n v n → T v → = T a 1 ⋅ v 1 → ) + T ( a 2 ⋅ v 2 → ) + … + T ( a n v n → T v → = a 1 T ( v 1 → ) + a 2 T ( v 2 → ) + … + a n T ( v n → )  

Como a questão diz que: T v 1 → = … = T v n → = 0 → , vamos aplicar isso:

T v → = a 1 ⋅ 0 + a 2 ⋅ 0 + … + a n ⋅ 0  

T v → = 0  

Isso demonstra que para qualquer vetor v → a transformação linear é igual a zero

T v → = 0       ∀     v → ∈ V

Em outras palavras, provamos que T   é a transformação nula.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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