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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 71

Encontrar o ponto N, projeção ortogonal do ponto P(3,-1,-4) no plano determinado pelos pontos A(2,-2,3), B(4,-3,-2) e C(0,-4,5). Qual é o ponto simétrico de P em relação a esse plano?

Passo 1

Vamos começar achando quem é o nosso plano, para isso vamos fazer 2 vetores: A B e A C

A B = B - A = 4 , - 3 , - 2 - 2 , - 2,3

A B = ( 2 , - 1 , - 5 )

A C = C - A = 0 , - 4,5 - 2 , - 2,3

A C = ( - 2 , - 2,2 )

Agora que temos dois vetores, vamos fazer o produto vetorial para achar o vetor n →

n → = A B × A C = i j k 2 - 1 - 5 - 2 - 2 2

n → = - 12,6 , - 6

Simplificando, ficamos com

n → = ( - 2,1 , - 1 )

Então nossa equação do plano fica

- 2 x + y - z + d = 0

Para achar d vamos escolher um ponto desse plano e substituir x , y , z do ponto (vamos usar o C)

2 * 0 + - 4 - 5 + d = 0

d = 9

Então nosso plano é: π : - 2 x + y - z + 9 = 0

Passo 2

Como a gente descobriu quem é o vetor n → e temos o ponto P , nossa reta r parametrizada fica: r : x = 3 - 2 t   y = t - 1   z = - t - 4

Vamos pegar esses valores e substituir na equação do plano, ficamos com: - 2 3 - 2 t + t - 1 - - t - 4 + 9 = 0

- 6 + 4 t + t - 1 + t + 4 + 9 = 0

6 t = - 6

t = - 1

Como t = - 1 , o ponto P ' (que é onde nossa reta intercepta o plano, ou seja, nossa projeção ortogonal do ponto P no plano) é:

x = 3 - 2 - 1   y = - 1 - 1   z = - - 1 - 4

P ' = ( 5 , - 2 , - 3 )

Passo 3

Vamos chamar o ponto simétrico a P de X , então temos que:

P P ' = P ' X

P P ' = P ' - P = 5 , - 2 , - 3 - ( 3 , - 1 , - 4 )

P P ' = ( 2 , - 1,1 )

Então temos que:

2 , - 1,1 = X - ( 5 , - 2 , - 3 )

X = 2 , - 1,1 + 5 , - 2 , - 3

X = ( 7 , - 3 , - 2 )

Resposta

P ' = ( 5 , - 2 , - 3 )

X = ( 7 , - 3 , - 2 )

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