Determinar o ponto P de interseção dos planos 2 x - y + z - 8 = 0 ,x + 2 y - 2 z + 6 = 0 e 3 x - z - 3 = 0 e uma equação geral do plano determinado por P e pela reta r : x = y , z = 2 y

P = 2 , - 1,3 π : 5 x + y - 3 z = 0

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 69

Determinar o ponto P de interseção dos planos e e uma equação geral do plano determinado por P e pela reta

Passo 1

Com essas 3 equações, podemos montar o sistema:

Começando por , temos que

Agora, substituindo isso nas equações e , ficamos com:

Resolvendo esse sisteminha, tiramos que

E como , temos que

Então, nosso ponto P de interseção é:

Passo 2

Agora para achar a equação geral do plano, vamos analisar a reta

Se chamarmos de , ficamos com a seguinte parametrização:

Logo,

Para acharmos a equação geral, precisamos de dois vetores, já temos então falta acharmos outro, precisamos então de dois pontos, um será o próprio ponto e o outro vamos achar fazendo

Fazendo

Nosso vetor, que vamos chamar de

Passo 3

Agora que já temos os dois vetores do plano, vamos achar a normal, fazendo

Resolvendo essa matriz encontramos que

Então, nosso plano que tem a formula

Onde e são os coeficientes e do nosso vetor normal, fica assim:

E para acharmos esse nosso coeficiente vamos substituir pelo ponto

Então nosso plano tem a equação geral:

Resposta

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27. Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π 1 e π 2 .(b) r : x - 1 = 2 y = z ; π 1 = 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0 ; π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0

6.1.2. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do planoπ : x = 2 e do ponto P= (−2, 0, 0). Que conjunto e este?

Ache as equações dos planos em R 3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam 3 do ponto (1, 1, 1).

Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π

Mostre que a distância de um ponto P_0 = (x_0 , y_0 , z_0) a um plano pi : a x + b y + c z + d = 0 é d i s t (P_0 , pi) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) .