Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 69

Determinar o ponto P de interseção dos planos e e uma equação geral do plano determinado por P e pela reta

Passo 1

Com essas 3 equações, podemos montar o sistema:

Começando por , temos que

Agora, substituindo isso nas equações e , ficamos com:

Resolvendo esse sisteminha, tiramos que

E como , temos que

Então, nosso ponto P de interseção é:

Passo 2

Agora para achar a equação geral do plano, vamos analisar a reta

Se chamarmos de , ficamos com a seguinte parametrização:

Logo,

Para acharmos a equação geral, precisamos de dois vetores, já temos então falta acharmos outro, precisamos então de dois pontos, um será o próprio ponto e o outro vamos achar fazendo

Fazendo

Nosso vetor, que vamos chamar de

Passo 3

Agora que já temos os dois vetores do plano, vamos achar a normal, fazendo

Resolvendo essa matriz encontramos que

Então, nosso plano que tem a formula

Onde e são os coeficientes e do nosso vetor normal, fica assim:

E para acharmos esse nosso coeficiente vamos substituir pelo ponto

Então nosso plano tem a equação geral:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

27. Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π 1 e π 2 .(b) r : x - 1 = 2 y = z ; π 1 = 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0 ; π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0

6.1.2. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do planoπ : x = 2 e do ponto P= (−2, 0, 0). Que conjunto e este?

Ache as equações dos planos em R 3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam 3 do ponto (1, 1, 1).

Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π

Mostre que a distância de um ponto P 0 = x 0 , y 0 , z 0 a um plano π : a x + b y + c z + d = 0 é d i s t P 0 , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2 .