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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 72a

O plano π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular:

  1. A área do triangulo ABC

Passo 1

Vamos começar descobrindo os pontos A , B e C , vamos dizer que A está no eixo x, B no eixo y e C no eixo z:

Para o ponto A :

3 x + 2 0 + 4 0 - 12 = 0

x = 4

A = ( 4,0 , 0 )

Para o ponto B :

3 0 + 2 y + 4 0 - 12 = 0

y = 6

B = 0,6 , 0

Para o ponto C :

3 0 + 2 0 + 4 z - 12 = 0

z = 3

C = ( 0,0 , 3 )

Passo 2

Vamos começar encontrando a distancia do plano à origem:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d P , π = 3 * 0 + 2 * 0 + 4 * 0 + 12 3 2 + 2 2 + 4 2

d P , π = 12 29

d P , π = 12 29 29

Passo 3

A área da base de um tetraedro (que seria o nosso triangulo) é calculado da seguinte forma

A b = | A B × A C | 2

A b = - 4,6 , 0 × - 4,0 , 3 2

Fazendo esse produto vetorial ficamos com

A B × A C = i j k - 4 6 0 - 4 0 3

Resolvendo essa matriz ai ficamos com

A B × A C = 18,12,24

A B × A C = 18 2 + 12 2 + 24 2

A B × A C = 6 29

Mas caaaalma, vamos lembrar que a fórmula da área é A b = | A B × A C | 2

Então nosso resultado fica:

A b = 6 29 2

A b = 3 29

Resposta

A = 3 29

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Achar a distância do ponto P ao plano π nos casos: P 1 ,1 ,1 π : x = 2 + 2 h + 3 t y = - 1 + h + t z = 2 - h
Achar a distância do ponto P ao plano π nos casos: P 0 ,0 ,0 π : 3 x - 4 y + 20 = 0
Calcular a distância entre os planos paralelos π 1 : x + y + z = 4 π 2 : 2 x + 2 y + 2 z = 5
Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:A distância de P ao plano π .
O plano π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular:C) o volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados