Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 5

5. Encontrar um solução da equação D 2 - 2 D + 26 y = 0 cujo gráfico passe pelo ponto 0,2 do plano e cuja tangente nesse ponto tenha inclinação igual a 3.

Passo 1

Essa questão é bem parecida com as muitas outras que fizemos, mas as condições iniciais são dadas de forma diferente.

Se o gráfico passa pelo ponto 0,2 , então temos:

y 0 = 2

E a tangente nesse ponto tem inclinação igual a 3 quer dizer:

y ' 0 = 3

Passo 2

Vamos achar as raízes do polinômio característico:

r 2 - 2 r + 26 = 0

As raízes são:

r 1 = 1 - 5 i

r 2 = 1 + 5 i

Então, como temos raízes complexas, então a solução geral vai ser:

y t = e t k 1 cos ⁡ 5 t + k 2   s e n   5 t

Passo 3

Agora é só aplicar as condições iniciais, mas vamos derivar uma vez, pois vamos precisar, né... (não esqueça da regra do produto, pelo amor da Deusa...)

y ' t = e t k 1 cos ⁡ 5 t + k 2   s e n 5 t + e t - 5 k 1 sen ⁡ 5 t + 5 k 2 cos ⁡   5 t

Aplicando a primeira condição:

y 0 = e 0 k 1 cos ⁡ 5 0 + k 2   s e n   5 0

2 = 1 k 1 1 + k 2 0

k 1 = 2

Aplicando a segunda:

y ' 0 = e 0 2 cos ⁡ 5 0 + k 2   s e n 5 0 + e 0 - 5 2 sen ⁡ 5 0 + 5 k 2 cos ⁡   5 0

3 = 1 2 1 + k 2 0 + 1 - 10 0 + 5 k 2 1

3 = 2 + 5 k 2

k 2 = 1 5

Então a solução fica:

y t = e t 2 cos ⁡ 5 t + 1 5 s e n 5 t

Resposta

y t = e t 2 cos ⁡ 5 t + 1 5 s e n 5 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o problema de valor inicial (veja o Exemplo 5) y ' ' + 5 y ' + 6 y = 0 , y 0 = 2 , y ' 0 = α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Determine as coordenadas t m e y m do ponto de m
Encontre a solução do problema de valor inicial. y ' ' - y = 0 , y 0 = 5 / 4 , y ' 0 = - 3 / 4 Faça o gráfico dasolução para 0 ≤ t ≤ 2 e determine seu valor mínimo
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' + 5 ⋅ y ' = 0
Em cada um dos problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta. y ' ' + 4 ⋅ y ' + 3 ⋅ y = 0 , y 0 =
Encontre a solução do problema de valor inicial. 2 y ' ' - 3 y ' + y = 0 , y 0 = 2 , y ' 0 = 1 / 2 Depos determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto em que a solução se anula.