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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 5

  1. Encontre a aproximação de mínimos quadrados de sen ⁡ π x no intervalo - 1 ,   1 por um polinômio da forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 .
  2. Encontre o erro quadrático médio da aproximação.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função:

f x = sen ⁡ π x

A aproximação de mínimos quadrados de f x no intervalo - 1 ,   1 por uma função do tipo a 0 + a 1 x é a função g x no subespaço W estendida por 1 ,   x ,   x 2 .

Para encontrar g x primeiro vamos encontrar uma base ortonormal para W aplicando o processo Gram-Schmidt em 1 ,   x .

Consideremos:

w 1 = v 1 = 1

E:

w 2 = v 2 - w 1 , v 2 w 1 2 w 1

Temos que:

w 2 = x - 1 , x 1 2 1

w 2 = x

E:

w 3 = v 3 - 1 , x 2 1 2 1 - x , x 2 1 2 x

w 3 = x 2 - 1 3

Então, 1 ,   x ,     x 2 - 1 3 é uma base ortonormal para W .

Passo 2

Vamos normalizar cada vetor de 1 ,   x ,     x 2 - 1 3 para obter uma base ortonormal g 0 ,   g 1 ,   g 2 :

g 0 = w 1 w 1 = 1

g 1 = w 2 w 2

Logo:

g 1 = x x

g 1 = 3 2 x

E:

g 2 = w 3 w 3

g 2 = x 2 - 1 3 x 2 - 1 3

g 2 = x 2 - 1 3 x 2 - 1 3

Portanto:

g x = 3 π x

Passo 3

O erro quadrático médio de aproximação é dado por:

f - g 2 = ∫ 0 1 f x - g x 2 d x

f - g 2 = ∫ 0 1 sen ⁡ π x - 3 π x 2 d x

Resolvendo, temos que:

f - g 2 = 1 - 6 π 2

Resposta

a )   g x = 3 π x

b )   f - g 2 = 1 - 6 π 2

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