Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 2

Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = x 2 no intervalo 0 ,   2 π por

  1. Um polinômio trigonométrico de ordem 3 ou menor.
  2. Um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função:

f x = x 2

A aproximação de mínimos quadrados de f x pelo polinômio trigonométrico de ordem 2 ou menor é dada por:

f x ≈ a 0 2 + a 1 cos ⁡ x + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 3 x + b 1 sen ⁡ x + b 2 sen ⁡ 2 x + b 3 sen ⁡ 3 x

Temos que:

a 0 = 1 π ∫ 0 2 π f x d x

Aplicando ao problema, temos que:

a 0 = 1 π ∫ 0 2 π x 2 d x

a 0 = 1 π x 3 3 0 2 π

a 0 = 8 π 2 3

Passo 2

Para as constantes do tipo a k , temos que:

a k = 1 π ∫ 0 2 π f x cos ⁡ k x d x

Aplicando ao problema, temos que:

a k = 1 π ∫ 0 2 π x 2 cos ⁡ k x d x

Resolvendo a seguinte integral, teremos:

a k = 4 k 2

Para as constantes do tipo b k , temos que:

b k = 1 π ∫ 0 2 π f x sen ⁡ k x d x

Aplicando ao problema, temos que:

b k = 1 π ∫ 0 2 π x 2 sen ⁡ k x d x

Resolvendo a seguinte integral, teremos:

b k = - 4 π k

Passo 3

Agora vamos substituir na fórmula. Temos que:

a 1 = 4

a 2 = 1

a 3 = 4 9

E:

b 1 = - 4 π

b 2 = - 2 π

b 3 = - 4 π 3

Portanto:

f x ≈ a 0 2 + a 1 cos ⁡ x + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 3 x + b 1 sen ⁡ x + b 2 sen ⁡ 2 x + b 3 sen ⁡ 3 x

f x ≈ 8 π 2 6 + 4 cos ⁡ x + 1 cos ⁡ 2 x + 4 9 cos ⁡ 3 x + - 4 π sen ⁡ x - 2 π sen ⁡ 2 x - 4 π 3 sen ⁡ 3 x

Passo 4

A partir dos valores obtidos para as constantes, podemos dizer que a aproximação dos mínimos quadrados de f x ao longo do intervalo 0 ,   2 π por um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor é da forma:

f x ≈ 8 π 2 6 + 4 cos ⁡ x + 4 cos ⁡ 2 x 2 2 + 4 cos ⁡ 3 x 3 2 + ⋯ + 4 cos ⁡ n x n 2 - 4 π sen ⁡ x + 4 π sen ⁡ 2 x 2 + 4 π sen ⁡ 3 x 3 + ⋯ + 4 π sen ⁡ n x n

Resposta

a )   f x ≈ 8 π 2 6 + 4 cos ⁡ x + 1 cos ⁡ 2 x + 4 9 cos ⁡ 3 x + - 4 π sen ⁡ x - 2 π sen ⁡ 2 x - 4 π 3 sen ⁡ 3 x

b )   f x ≈ 8 π 2 6 + 4 cos ⁡ x + 4 cos ⁡ 2 x 2 2 + 4 cos ⁡ 3 x 3 2 + ⋯ + 4 cos ⁡ n x n 2 - 4 π sen ⁡ x + 4 π sen ⁡ 2 x 2 + 4 π sen ⁡ 3 x 3 + ⋯ + 4 π sen ⁡ n x n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = e x no intervalo 0 ,1 por uma função da forma a 0 + a 1 x .Encontre o erro quadrático médio da aproximação.
Efetue as integrações indicadas em 9 a ,9 b e 9 c .
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = 1 + x no intervalo 0 ,2 π porUm polinômio trigonométrico de ordem 2 ou menor.Um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor.
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de sen ⁡ π x no intervalo - 1 ,1 por um polinômio da forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 .Encontre o erro quadrático médio da aproximação.
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = x no intervalo 0 ,1 por uma função da forma a + b e x .Encontre o erro quadrático médio da aproximação.