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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 35

35. Mostre que se u for um vetor unitário em C n , escrito em forma de coluna, então H = I - 2 u u * é uma matriz unitária e hermitiana.

Passo 1

Vamos começar já usando a fórmula que ele deu:

H = I - 2 u u *

Usando as propriedades:

H * = I - 2 u u * *

= I * - 2 u * * u *

= I - 2 u u *

= H

Então é hermitiana.

Passo 2

Fara fazemos a multiplicação:

H H * =   I - 2 u u * I - 2 u u *

= I - 2 u u * - 2 u u * + 4 u u * u u *

= I - 2 u u * - 4 u u * u u * + 2 u u *

= I - u u * - u u * 2

= I

Então é unitária.

Resposta

H é hermitiana e unitária

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