Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.

x 1 - 3 x 2 + x 3 = 0 2 x 1 - 6 x 2 + 2 x 3 = 0 3 x 1 - 9 x 2 + 3 x 3 = 0

Passo 1

Desejamos encontrar uma base do espaço solução do sistema linear dado e encontrar a dimensão do mesmo. Para isso vamos escrever o nosso sistema sob a forma de matriz para facilitar a visualização, então,

1 1 - 1 - 2 - 1 2 - 1 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Manipulando um pouco as equações fazendo as seguintes operações

t r o c a n d o   L 1   c o m   L 3   d e   l u g a r , L 2 - 2 3 L 1 → L 2

Obteremos

3 - 9 3 0 0 0 1 - 3 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Agora fazendo

L 3 - L 1 3 → L 3 ,     L 1 3 → L 1

Vamos encontrar

1 - 3 1 0 0 0 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Como temos, nesse caso, uma equação e duas incógnitas vamos chamar duas das 3 variáveis de alguma letra de tal forma que todo nosso conjunto solução vai depender dessas letras e ainda vamos conseguir encontrar uma base e a dimensão desse espaço solução. Então, façamos

x 3 = a ,   x 2 = b

→ x 1 - 3 x 2 + x 3 = 0 → x 1 = 3 b - a

Dessa forma, é possível fazer a seguinte comparação

x 1 x 2 x 3 = 3 b - a b a = 3 b b 0 + - a 0 a

x 1 x 2 x 3 = b ⋅ 3 1 0 + a ⋅ - 1 0 1

Logo, conseguimos inferir que a dimensão que desejamos encontrar é exatamente igual a 2 haja vista que todo o conjunto solução desse sistema pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores.

Resposta

B a s e : 3 1 0 , - 1 0 1 ,   D i m e n s ã o : 2

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