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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 2

Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar a do R 3 1 ,   1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 , 1 ,   2 ,   3 em uma base ortonormal do R 3

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

Subespaço: R 3

Base: 1 ,   1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 , 1 ,   2 ,   3

v 1 = 1 ,   1 ,   1

v 2 = 0 ,   1 ,   1

v 3 = 1 ,   2 ,   3

Passo 2

Primeiramente, para resolvermos esse exercício precisaremos realizar o primeiro passo, que é encontrar três vetores distintos, para isso, vamos nomear esses vetores de “g”. Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a projeção do vetor, que é denominada como: “proj”.

Vetor: g 1 g 1 =   v 1 g 1 =   1 ,   1 ,   1

Vetor: g 2

g 2 =   v 2 - p r o j ( g 1 , v 2 )

g 2 = 0 ,   1 ,   1 - p r o j ( g 1 , v 2 )

g 2 = 0 ,   1 ,   1 - p r o j 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1

g 2 = - 2 3 , 1 3 , 1 3

Vetor: g 3

g 3 =   v 3 - p r o j ( g 1 , v 3 ) - p r o j ( g 2 , v 3 )

g 3 = 1 ,   2 ,   3 - p r o j ( g 1 , v 3 ) - p r o j ( g 2 , v 3 )

g 3 = 1 ,   2 ,   3 - p r o j 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   3 - p r o j - 2 3 , 1 3 , 1 3 ,   1 ,   2 ,   3

g 3 = 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 3

Para finalizarmos o nosso exercício, precisaremos encontrar três conjuntos de vetores que será a base resultante do nosso enunciado, mas para isso vou nomear esses três vetores de “t”.Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a norma do vetor, que é denominada como: “no”.

Vetor: t 1

t 1 = g 1 n o ( g 1 )

t 1 = 1 ,   1 ,   1 n o 1 ,   1 ,   1

t 1 = 1 3 3 ,     1 3 3 ,     1 3 3  

Vetor: t 2

t 2 = g 2 n o ( g 2 )

t 2 = - 2 3 , 1 3 , 1 3 n o - 2 3 , 1 3 , 1 3

t 2 = - 1 3 6 ,     1 6 6 ,     1 6 6  

Vetor: t 3

t 3 = g 3 n o ( g 3 )

t 3 = 0 , - 1 2 , 1 2 n o 0 , - 1 2 , 1 2

t 3 = 0 ,     - 1 2 2 ,     1 2 2

Finalmente, quanto trabalho!!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

t 1 = 1 3 3 ,     1 3 3 ,     1 3 3  

t 2 = - 1 3 6 ,     1 6 6 ,     1 6 6  

t 3 = 0 ,     - 1 2 2 ,     1 2 2

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