Enunciado

Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores de cada parte do Exercício 11 e decida se o ângulo encontrado é agudo, obtuso ou reto.

Passo 1

Para calcular o cosseno do ângulo entre os vetores, usamos a relação:

cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → v →

Em (a) temos que u → = ( 3 ,   3 ,   3 ) e v → = ( 1 ,   0 ,   4 ) . O produto interno é:

u → ⋅ v → = 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 + 3 ⋅ 4 = 15

A norma de cada vetor é:

u → = 3 2 + 3 2 + 3 2 = 27 = 3 3

v → = 1 2 + 0 2 + 4 2 = 17

Substituindo os valores na relação do cosseno:

cos ⁡ θ = 15 3 3 ⋅ 17 = 0 , 7

Passo 2

Em (b) temos que u → = ( 0 ,   - 2 ,   - 1 ,   1 ) e v → = ( - 3 ,   2 ,   4 ,   4 ) . O produto interno é:

u → ⋅ v → = 0 ⋅ - 3 + - 2 ⋅ 2 + - 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 4 = - 4

A norma de cada vetor é:

u → = 0 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 6

v → = ( - 3 ) 2 + 2 2 + 4 2 + 4 2 = 45 = 3 5

Substituindo os valores na relação do cosseno:

cos ⁡ θ = - 4 6 ⋅ 3 5 = - 0,243

Passo 3

Em (c) temos que u → = ( 3 ,   - 3 ,   - 2 ,   0 ,   - 3 ,   13 ,   5 ) e v → = ( - 4 ,   1 ,   - 1 ,   5 ,   0 ,   - 11 ,   4 ) . O produto interno é:

u → ⋅ v → = 3 ⋅ - 4 + - 3 ⋅ 1 + - 2 ⋅ - 1 + 0 ⋅ 5 + - 3 ⋅ 0 + 13 ⋅ - 11 + 5 ⋅ 4 = - 136

A norma de cada vetor é:

u → = 3 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 0 2 + ( - 3 ) 2 + 13 2 + 5 2 = 225 = 15

v → = ( - 4 ) 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 + 5 2 + 0 2 + ( - 11 ) 2 + 4 2 = 180 = 6 5

Substituindo os valores na relação do cosseno:

cos ⁡ θ = - 136 15 ⋅ 6 5 = - 0,676

Resposta

  1. cos ⁡ θ = 0 , 7
  2. cos ⁡ θ = - 0,243
  3. cos ⁡ θ = - 0,676
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Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores de cada parte do Exercício 12 e decida se o ângulo encontrado é agudo, obtuso ou reto.b) u = 2 ,- 1 ,- 4 ,1 ,0 ,6 ,- 3 ,1 ,v = - 2 ,- 1 ,0 ,3 ,7 ,2 ,- 5 ,
Determine se a expressão faz sentido matemático.d) u .v - u
Determine se a expressão faz sentido matemático.b) u .( v + w)
Determine se a expressão faz sentido matemático.c) ( u .v )
Determine se a expressão faz sentido matemático. u . ( v . w )