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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.Exercícios Suplementares - Ex. 9

Encontre uma decomposição em valores singulares de

A = 1 1 0 0 1 1

Passo 1

Para encontrar os valores singulares de A , primeiro precisamos calculaar os autovalores de A T A .

Então vamos começar calculando o produto:

A T A = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 = 2 2 2 2

Passo 2

Agora vamos calcular os autovalores:

det ⁡ λ I - A T A = 0

λ - 2 - 2 - 2 λ - 2 = 0

Resolvendo o determinante chegamos na expressão:

λ 2 - 4 λ = 0

E calculando as raízes da equação de segundo grau encontramos os autovalores:

λ 1 = 4 λ 2 = 0

Logo, os valores singulares são:

σ 1 = λ 1 = 2 σ 2 = λ 2 = 0

Passo 3

Agora vamos encontrar os autovetores unitários:

λ - A T A x → = 0

λ - 2 - 2 - 2 λ - 2 x 1 x 2 = 0 0

Para λ 1 = 4

2 - 2 - 2 2 x 1 x 2 = 0 0

Se escalonarmos a matriz da expressão por eliminação gaussiana chegamos em:

1 - 1 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Então:

x 1 - x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = t : x 1 = t x 2 = t

O autovetor associado será:

x → = 1 1

Logo, o autovetor unitário será:

v 1 → = 1 / 2 1 / 2

Passo 4

Agora vamos calcular o autovetor associado à λ 2 = 0

- 2 - 2 - 2 - 2 x 1 x 2 = 0 0

Se escalonarmos a matriz da expressão por eliminação gaussiana chegamos em:

1 1 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Então:

x 1 + x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = t : x 1 = t x 2 = - t

O autovetor associado será:

x → = 1 - 1

Logo, o autovetor unitário será:

v 2 → = 1 / 2 - 1 / 2

Passo 5

Finalmente, podemos calcular as colunas da matriz ortogonal U

u 1 = A v 1 → σ 1 = 1 1 0 0 1 1 ⋅ 1 / 2 1 / 2 2 = 1 / 2 0 1 / 2  

u 2 = A v 2 → σ 1 = 1 1 0 0 1 1 ⋅ 1 / 2 - 1 / 2 2 = - 1 / 2 0 1 / 2  

Passo 6

Agora, podemos calcular a decomposição de A em valores singulares:

A = U ⋅ Σ ⋅ V T

1 1 1 1 = u 1 u 2 σ 1 0 0 σ 2 v 1 → T v 2 → T

1 1 1 1 = 1 / 2 0 1 / 2 0 1 0 - 1 / 2 0 1 / 2 2 0 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2

Resposta

1 1 1 1 = 1 / 2 0 1 / 2 0 1 0 - 1 / 2 0 1 / 2 2 0 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2

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