Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 11
Seja o operador linear definido por
Encontre o posto e a nulidade de
Passo 1
O domínio da transformação linear é , então a matriz é uma matriz qualquer:
Vamos aplicar a transformação linear:
Executamos os produtos matriciais:
E efetuamos a soma matricial:
Passo 2
Para encontrar o núcleo de , temos que determinar o conjunto de valores em que:
Aplicando a transformação calculada no passo anterior:
Então:
O que leva a:
Se chamarmos , então .
Então a matriz do núcleo será:
A nulidade de é igual a dimensão do núcleo.
Passo 3
Para calcular a nulidade vamos usar o Teorema 8.1.4: Teorema da Dimensão
Como é um espaço vetorial de dimensão , então . Vamos aplicar:
Resposta
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13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
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17 Sejam F, G e L(V) tais que FoG=GoF. Mostrar que: