Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 33
Seja uma transformação linear de um espaço vetorial qualquer em . Dê uma descrição geométrica de
Passo 1
Pelo Teorema 8.1.3, a imagem de tem que ser subespaço de . Se lembrarmos do Capítulo 4, vamos saber que todo subespaço vetorial deve conter um vetor nulo. Como a imagem é subespaço do , então a imagem deve conter o vetor
Então, já que a imagem contém o vetor , isso quer dizer que este subespaço passa pela origem.
Então, a imagem de pode ser uma reta ou um plano que passe pela origem.
Resposta
A imagem de pode ser uma reta ou um plano que passe pela origem.
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33. Mostre que os autovalores de uma matriz unitária têm módulo 1.
30. Mostre que se A for uma matriz n × n com entradas complexas e u e v forem vetores em C n dados em forma de coluna, então A u ⋅ v = u ⋅ A * v;u ⋅ A v = A * u ⋅ v
35. Mostre que se u for um vetor unitário em C n , escrito em forma de coluna, então H = I - 2 u u * é uma matriz unitária e hermitiana.
46. Prove que os autovalores de uma matriz hermitiana são reais.
39. Que interpretações geométricas plausíveis poderiam ser dadas à multiplicação pelas matrizes P = u u * e H = 1 - 2 u u * nos Exercícios 34 e 35?