Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 9
Seja uma matriz fixa de . Mostrar que dada por , , é linear.
Se com , o que é ?
Passo 1
Vamos lá!
Temos que verificar duas informações nesta questão. Primeiro, vamos provar que é um operador linear. Depois, vamos verificar quem é , se .
Então, começaremos pela primeira parte. Verificar se é um operador é verificar se ele satisfaz as condições que uma transformação linear deve atender.
Mas sim, quais são essas condições? Vamos relembra-las! Seja um operador e dois vetores e pertencentes a . A primeira condição nos diz que:
Se a relação acima for satisfeita, independentemente dos vetores e , teremos um operador linear? Não! Ainda não garantimos que ele é. Para garantir, a segunda condição também deve ser satisfeita. Então, seja um vetor qualquer e um número real , temos:
Passo 2
Vamos começar então verificando que temos um operador linear. Então, sejam e dois vetores tais que:
Então, vamos verificar se . Portanto,
E assim verificamos que a primeira relação é satisfeita!
Passo 3
Será agora se a segunda relação também é satisfeita? Então, seja um vetor e pertencente aos reais, temos:
E assim comprovamos também a segunda relação. Portanto, é um operador linear sim!
Passo 4
Agora que sabemos que é um operador linear, vamos verificar o que acontece com ele quando .
Para verificarmos, basta substituir esta relação na definição de e verificar o que ocorre. Portanto,
Como o produto de uma matriz pela matriz identidade (ou vice-versa) é igual a própria matriz , temos:
E assim acabamos de verificar que, se , é um operador linear nulo.
Resposta
Se , é um operador linear nulo.