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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 4b

Verifique se são operadores lineares no espaço P n ( R ) :

  1. F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t , ∀ f t ∈ P n ( R ) ;
  2. F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t + t 2 f ' ' t , ∀ f t ∈ P n ( R ) ;

Passo 1

Vamos lá!

Provar que F é um operador linear significa verificar se as duas condições de uma transformação linear são satisfeitas.

Mas sim, quais são essas condições? Vamos relembra-las! Seja um operador F : U → W e dois vetores u e v pertencentes a U . A primeira condição nos diz que:

F u + v = F u + F v

Se a relação acima for satisfeita, independentemente dos vetores u e v , teremos um operador linear? Não! Ainda não garantimos que ele é. Para garantir, a segunda condição também deve ser satisfeita. Então, seja um vetor u qualquer e um número real α , temos:

F α u = α F u

Agora sim, se ambas as condições forem satisfeitas, temos um operador linear.

Passo 2

Então, nosso trabalho será checar as duas condições.

Começaremos então pela primeira. Sejam dois vetores u = f t e v = g t tais que:

F f t = t f ' t

F g t = t g ' v

Agora, vamos verificar se a relação F u + v = F u + F v é satisfeita. Portanto,

F u + v = F f t + g t

F f ( t + g t ) = t f t + g t ' + t 2 f t + g t ' '

F f ( t + g t ) = t f ' t + g ' t + t 2 f ' ' t + g ' ' t

F f ( t + g t ) = t f ' t + t g ' t + t 2 f ' ' t + t 2 g ' ' t

F f ( t + g t ) = t f ' t + t 2 f ' ' t + t g ' t + t 2 g ' ' t

F f ( t + g t ) = F f t + F g t

E assim verificamos que a primeira relação é satisfeita!

Passo 3

Será agora se a segunda relação também é satisfeita? Então, seja u = f t e α pertencente aos reais, temos:

F α f t = t α f t ' + t 2 α f t ' '

F α f t = α t f ' t + α t 2 f ' ' t

F α f t = α t f ' t + t 2 f ' ' t = α F f t

E assim comprovamos também a segunda relação. Portanto, F é um operador linear sim!

Resposta

Sim, F é um operador linear.

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