Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 5

Existe um operador linear tal que , e ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos lá!

Esta questão é resolvida rapidamente se nós lembrarmos da definição de um operador linear. Isto é, quais as condições que uma transformação linear deve atender.

Mas sim, quais são essas condições? Vamos relembra-las! Seja um operador e dois vetores e pertencentes a . A primeira condição nos diz que:

Se a relação acima for satisfeita, independentemente dos vetores e , teremos um operador linear? Não! Ainda não garantimos que ele é. Para garantir, a segunda condição também deve ser satisfeita. Então, seja um vetor qualquer e um número real , temos:

Agora sim, se ambas as condições forem satisfeitas, temos um operador linear. Vamos utilizar essas relações (em especial, a primeira), para resolver esta questão.

Passo 2

Bom a questão nos deu três vetores, sendo eles , e , e as possíveis transformações deles.

Se vocês analisarem estes vetores com bastante calma, vão perceber que:

Eita! E se for um operador linear, significa que ele satisfaz as condições de uma transformação linear, não é? Em outras palavras, podemos escrever a seguinte relação:

Mas será se a relação acima é verdade? Vamos substituir as informações da questão!

Eita! A relação acima não é uma verdade! Portanto, a primeira condição de uma transformação linear não foi atendida.

Desta forma, podemos concluir que não existe um operador linear que satisfaça as condições dadas na questão!

Resposta

Não existe um operador linear , pois ele não satisfaz as definições de uma transformação linear.

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Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.

Dada a transformação linear invertível T : R² → R² , sejam u, v vetores unitários ortogonais tais que o sentido da rotação de u para v seja positivo. Submeta o par ( u ,v ) a um processo contínuo de r

Seja T como no exercício anterior. Prove que a circunferência ( x-1 ) ²+( y-2 ) ²=4 ² ² é transformada por T num segmento de reta. Quais são as extremidades desse segmento?

Sejam r e r ′ duas retas perpendiculares, ambas contendo a origem 0 = (0, 0). Sejam S :R 2→R 2 e S′:R 2→R 2 as transformações lineares que consistem nas reflexões em torno de r e r ′ respectivamente.

Seja T:R 2→R 2 a transformação linear dada por T( x ,y )=( a x + b y ,c x + d y ) . A equação λ 2-( a+d ) λ+( a d-b c )=0 chama-se a equação característica da transformação T. As raízes desta equação