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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 10

Encontre a matriz unitária U que diagonaliza

A = 1 1 0 0 1 1 1 0 1

E determine a matriz diagonal D = U - 1 A U .

Passo 1

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 1 1 0 0 1 1 1 0 1 = det ⁡ λ - 1 - 1 0 0 λ - 1 - 1 - 1 0 λ - 1

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 3 - 3 λ 2 + 3 λ - 2

Cujas raízes são λ 1 = 2   ,   λ 2 = 1 + i 3 2 , λ 3 = 1 - i 3 2 . Obs: para encontrar as raízes inspecionamos os divisores do termo independente e encontramos 2 como raíz, depois aplicamos o dispositivo de Briott-Ruffini para reduzir o grau do polinômio e encontrarmos as duas outras raízes fazendo baskhara ou soma e produto.

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 1 - 1 0 0 λ - 1 - 1 - 1 0 λ - 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 2 vamos obter o seguinte sistema

1 - 1 0 0 1 - 1 - 1 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Faremos as seguintes operações com esse sistema

L 3 + L 1 → L 3 ,   L 3 + L 2 → L 3

Obteremos o seguinte

1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 0  

Agora, faremos

L 1 + L 2 → L 1

E, assim, vamos encontrar

1 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0

Então, ficamos com

1 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 - x 3 = 0 → x 1 = x 3 ,     x 2 - x 3 = 0 → x 2 = x 3

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

1 1 1

Passo 3

Para o segundo autovalor   λ 2 = 1 + i 3 2 vamos proceder da mesma forma e oobteremos seguinte sistema

- 1 2 + i 3 2 - 1 0 0 - 1 2 + i 3 2 - 1 - 1 0 - 1 2 + i 3 2 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Faremos as seguintes operações, em sequência, com esse sistema

1     L 3 - 1 2 + i 3 2 L 1 → L 3 ,   t r o c a r   L 2   c o m   a   L 3

2     L 3 - 1 2 + i 3 2 L 2 → L 3 ,     1 2 + i 3 2 L 2 → L 2

3   L 1 + L 2 → L 1 ,     - 1 2 + i 3 2 L 1 → L 1

Então, ficamos com

1 0 1 2 - i 3 2 0 1 1 2 + i 3 2 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 + 1 2 - i 3 2 x 3 = 0 → x 1 = - 1 2 + i 3 2 ⋅ x 3

→ x 2 + 1 2 + i 3 2 ⋅ x 3 = 0 → x 2 = - 1 2 - i 3 2 ⋅ x 3

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

- 1 2 + i 3 2 - 1 2 - i 3 2 1

Passo 4

Para o terceiro autovalor   λ 2 = 1 - i 3 2 vamos proceder da mesma forma e oobteremos seguinte sistema

- 1 2 - i 3 2 - 1 0 0 - 1 2 - i 3 2 - 1 - 1 0 - 1 2 - i 3 2 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Faremos as seguintes operações, em sequência, com esse sistema

1     L 3 - 1 2 - i 3 2 L 1 → L 3 ,   t r o c a r   L 2   c o m   a   L 3

2     L 3 - 1 2 - i 3 2 L 2 → L 3 ,     1 2 + i 3 2 L 2 → L 2

3   L 1 + L 2 → L 1 ,     - 1 2 + i 3 2 L 1 → L 1

Então, ficamos com

1 0 1 2 + i 3 2 0 1 1 2 - i 3 2 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 + 1 2 + i 3 2 x 3 = 0 → x 1 = - 1 2 - i 3 2 ⋅ x 3

→ x 2 + 1 2 - i 3 2 ⋅ x 3 = 0 → x 2 = 1 2 + i 3 2 ⋅ x 3

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

- 1 2 - i 3 2 - 1 2 + i 3 2 1

Passo 5

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 1 2 + | 1 | 2 + 1 2 ⋅ 1 1 1 = 1 3 ⋅ 1 1 1 = 1 3 1 3 1 3

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 - 1 2 + i 3 2 2 + - 1 2 - i 3 2 2 + | 1 | 2 ⋅ - 1 2 + i 3 2 - 1 2 - i 3 2 1 = 1 3 ⋅ - 1 2 + i 3 2 - 1 2 - i 3 2 1

v 2 = - 3 6 + i 2 - 3 6 - i 2 1 3

Do mesmo jeito para v 3 teremos

v 3 = 1 - 1 2 - i 3 2 2 + - 1 2 + i 3 2 2 + | 1 | 2 ⋅ - 1 2 - i 3 2 - 1 2 + i 3 2 1 = 1 3 ⋅ - 1 2 - i 3 2 - 1 2 + i 3 2 1 = - 3 6 - i 2 - 3 6 + i 2 1 3

Portanto, A é diagonalizável pela matriz unitária

U = 1 3 - 3 6 + i 2 - 3 6 - i 2 1 3 - 3 6 - i 2 - 3 6 + i 2 1 3 1 3 1 3

Essa matriz tem uma propriedade importante que é

U ⋅ U t = I

Isso nos indica que a matriz U t = U - 1 . Finalmente vamos conseguir encontrar a matriz desejada D que será dada por

D = U - 1 A U

D = 1 3 1 3 1 3 - 3 6 + i 2 - 3 6 - i 2 1 3 - 3 6 - i 2 - 3 6 + i 2 1 3 ⋅ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ⋅ 1 3 - 3 6 + i 2 - 3 6 - i 2 1 3 - 3 6 - i 2 - 3 6 + i 2 1 3 1 3 1 3

D = 2 0 0 0 1 + i 3 2 0 0 0 1 - i 3 2

Resposta

U = 1 3 - 3 6 + i 2 - 3 6 - i 2 1 3 - 3 6 - i 2 - 3 6 + i 2 1 3 1 3 1 3 ,   D = 2 0 0 0 1 + i 3 2 0 0 0 1 - i 3 2

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