Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 19
Nos Exercícios 17-20, encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.
19.
Passo 1
Podemos rescrever nosso sistema na forma matricial, para resolvermos nosso problema, logo:
Vamos encontrar a solução do sistema por meio da matriz aumentada .
Fazendo essas operações lineares na nossa matriz, temos:
Como já escalonamos a matriz aumentada, podemos voltar para a forma original de sistema:
Passo 2
Como nosso sistema, é um sistema homogêneo, e já o escalonamos, então podemos obter a solução a partir dessa equações:
Da segunda equação temos que:
Da primeira equação temos:
Substituindo na equação:
Estamos quase lá, só resolver essas somas, e teremos:
Prontinho, agora temos nossa solução:
De acordo com o livro, adotamos as letras para solução, logo a solução fica na forma:
, , , e
Passo 3
Para verificarmos que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução, podemos escrever a solução de forma vetorial.
e temos o vetor linha , fazendo o produto escalar:
Como , podemos concluir que vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.
Resposta
, , , e