Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 8

Encontre a série de Fourier de f (x) = pi - x no intervalo [ 0 , 2 pi ] .

Passo 1

Vamos começar usando a forma geral da Série de Fourier

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) [a_n * cos ((n pi x)/(L)) + b_n * s e n ((n pi x)/(L))]

Onde temos os termos 2 L = 2 pi :. L = pi e c = 0

Passo 2

Para calcular o coeficiente a_0 e a_k usaremos de

a_n = (1)/(L) int_c^(c + 2 L) f (t) * cos ((n pi t)/(L)) d t

Portanto,

a_0 = (1)/(pi) int_0^(2 pi) f (x) d x

a_0 = (1)/(pi) int_0^(2 pi) (pi - x) d x

a_0 = (1)/(pi) * pi int_0^(2 pi) d x - (1)/(pi) int_0^(2 pi) x d x

a_0 = int_0^(2 pi) d x - (1)/(pi) int_0^(2 pi) x d x

a_0 = 2 pi - (4 pi^2)/(2 pi)

a_0 = 2 pi - 2 pi

a_0 = 0

a_n = (1)/(pi) int_0^(2 pi) ( pi - x ) * cos ((n pi x)/(pi)) d x

a_n = (1)/(pi) int_0^(2 pi) ( pi - x ) * cos (n x) d x

a_n = (1)/(pi) * pi int_0^(2 pi) cos (n x) d x - (1)/(pi) int_0^(2 pi) x * cos (n x) d x

a_n = int_0^(2 pi) cos (n x) d x - (1)/(pi) [(2 pi * s e n (2 pi n) + cos (2 pi n) - 1)/(n^2)]_0^(2 pi)

a_n = (s e n (2 pi n))/(n) - (1)/(pi) * ((2 pi * s e n (2 pi n) + cos (2 pi n) - 1)/(n^2))

a_n = 0

Passo 3

Agora, precisamos achar o coeficiente b_n tal que

b_n = (1)/(L) int_c^(c + 2 L) f (t) s e n ((n pi t)/(L)) d t

b_n = (1)/(pi) int_0^(2 pi) (pi - x) s e n ((n pi x)/(pi)) d x

b_n = (1)/(pi) int_0^(2 pi) (pi - x) s e n (n x) d x

b_n = (1)/(pi) * pi int_0^(2 pi) s e n (n x) d x - int_0^(2 pi) x s e n (n x) d x

b_n = int_0^(2 pi) s e n (n x) d x - int_0^(2 pi) x s e n (n x) d x

b_n = - (cos (2 pi n) - 1)/(n) - (s e n (2 pi n) - 2 pi n * c o s (2 pi n))/(n^2)

b_n = (2)/(n)

Resposta

f (x) = sum_(n = 1)^(oo) (2)/(n) s e n ( n x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = 1 + x no intervalo 0 ,2 π porUm polinômio trigonométrico de ordem 2 ou menor.Um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor.
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de sen ⁡ π x no intervalo - 1 ,1 por um polinômio da forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 .Encontre o erro quadrático médio da aproximação.
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = x no intervalo 0 ,1 por uma função da forma a + b e x .Encontre o erro quadrático médio da aproximação.
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = x 2 no intervalo 0 ,2 π porUm polinômio trigonométrico de ordem 3 ou menor.Um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor.
3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.