Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 4
Encontre um subconjunto com o maior número possível de vetores ortonormais no subespaço dos vetores tais que .
Passo 1
Oiiie, tudo certinho?
Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:
E também é necessário que e , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:
Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!
Passo 2
Nós temos 4 parâmetros livres e apenas uma equação, portanto, vamos escolher parâmetros quaisquer como , e . E escrever o seguinte:
E portanto, temos a seguinte relação:
Esta expansão pode ser expandida em termos dos parâmetros da seguinte maneira:
De forma que nossa base pode ser identificada como , e . Agora precisamos garantir que ela é ortogonal e se todos os vetores estão normalizados! Bora lá!
Passo 3
Vamos primeiro checar se ambos se eles são ortogonais pela definição (1), temos que:
Os vetores de base não são ortogonais. E o que fazer agora? Precisamos construir uma base ortogonal, para isso vamos usar a seguinte definição:
O que nos dá uma projeção ortogonal de um vetor sobre um vetor não nulo . Bora lá!
Passo 4
Temos que utilizar a definição (3) para construir:
e subsequentemente, para achar o terceiro vetor, temos:
Vamos fazer isso então! Beleza?
Passo 5
Se fizermos a escolha , e lembrando que Já calculamos . Usando a definição (2), temos que:
Portanto, temos então que:
E precisamos fazer também:
Nós já calculamos que . Vamos calcular o que falta, belezinha?
Passo 6
Primeiro, usando a definição (1) para calcular:
e a definição (2), para obter que:
E desta forma, a equação (7) toma a forma:
Temos então que , e são bases ortogonais, agora precisamos normalizá-las, saca só!
Passo 7
Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:
Portanto, usando como calculamos no passo anterior, temos da definição (8) e de que:
Fazendo o mesmo para , e utilizando que , temos:
e utilizando (2) para calcular a normal de , temos:
e portanto, temos:
Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!