Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 23b
Sejam A, B e C matrizes nxn.
b) (AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB? Justifique.
Passo 1
Primeiro, devemos lembrar que a álgebra matricial possui a propriedade de associatividade, que afirma que (AB)C = C(AB). No entanto, também sabemos que o produto matricial de duas matrizes AB pode ou não ser igual ao produto BA, a depender se as matrizes apresentam ou não comutatividade.
Passo 2
A partir do que foi dito, inferimos que (AB)C não é igual a C(AB) se as matrizes não comutam. Como exemplo, podemos citar:
.
Ou seja, .
Passo 3
Se AC = CA e BC = CB, podemos dizer que A e C comutam entre si e B e C comutam entre si.
No entanto, ainda seguimos com um problema se o resultado do produto AB e a matriz C não comutam. Dessa forma. Só é possível garantir que (AB)C = C(AB), para AC = CA e BC = CB, caso a matriz C seja a matriz identidade.
Isso ocorre pois a matriz identidade é um elemento neutro na multiplicação, ou seja, IX = X. Nesse sentido, (AB)I = AB = I(AB).
Resposta
A relação só é válida para C sendo uma matriz identidade.