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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.Teste do Capítulo - Ex. 3

Encontre todos os valores de λ para os quais a matriz A - λ I 4 tem inversa, em que

⎜   2                 0                 0                 0   ⎜

⎜   2                 0                 0                 0   ⎜

⎜   1                 2                 1                 0   ⎜

⎜   3                 2       - 1           2     ⎜

Passo 1

E aí, gente? Lembra qual é a condição para uma matriz ter inversa? Isso mesmo, o determinante dela tem que ser nulo. Então, o que vamos fazer aqui basicamente é calcular a matriz A - λ I 4 e depois obter o seu determinante. Primeiro, a gente tem que se ligar que I 4 é a matriz identidade 4 × 4 , então

λ I 4 =

⎜   λ                 0                 0                 0   ⎜

⎜   0                 λ                 0                 0   ⎜

⎜   0                 0                 λ                 0   ⎜

⎜   0                 0                 0                 λ   ⎜

Passo 2

Beleza! Então, vamos calcular A - λ I 4 :

A - λ I 4 =

  ⎜   2 - λ               0                           0                                 0             ⎜

  ⎜           2                           λ                           0                                 0             ⎜

  ⎜         1                           2                 1 - λ                       0               ⎜

  ⎜           3                           2             - 1                     2 -   λ   ⎜

Olha só! A matriz é triangular inferior. Isso quer dizer que vai ser bem mais fácil de calcular o determinante.

Passo 3

Pronto! Agora podemos calcular o determinante:

d e t A - λ I 4 = ( 2 - λ ) 2 ⋅ λ ⋅ ( 1 - λ )

Lembrando que a matriz não pode ter determinante nulo para que a inversa exista, então, vemos que

( 2 - λ ) 2 ⋅ λ ⋅ ( 1 - λ ) ≠ 0 ⇒ λ ≠ 0 ,   λ ≠ 1 ,   λ ≠ 2

Ou seja, todos os valores de λ são válidos, exceto 0,1 , 2 .

Resposta

Todos os valores de λ com exceção de 0,1 , 2 .

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