Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A foram invertíveis, então
Passo 1
Pelas propriedades matriciais: o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, .
Assim, podemos dizer que
Passo 2
Como nos foi dado a proposição de que
Podemos substituir a inversa da soma:
Aplicando a distributiva, podemos reescrever como:
Colocando em evidência:
(
Passo 3
Como sabemos que :
(
Aqui, podemos aplicar novamente a propriedade de que , para qualquer matriz A, pois temos
E sua inversa
Assim:
(
É tal que
Que é uma igualdade válida e comprova, então, que
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.
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