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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 13

Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A foram invertíveis, então

( A + B ) - 1 = A - 1 ( I n + B A - 1 ) - 1

Passo 1

Pelas propriedades matriciais: o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A ∙ A - 1 = A - 1 ∙ A = I n .

Assim, podemos dizer que

( A + B ) ∙ ( A + B ) - 1 = I n

Passo 2

Como nos foi dado a proposição de que

( A + B ) - 1 = A - 1 ( I n + B A - 1 ) - 1

Podemos substituir a inversa da soma:

( A + B ) ∙ ( A - 1 I n + B A - 1 - 1 ) = I n

Aplicando a distributiva, podemos reescrever como:

A ∙ ( A - 1 I n + B A - 1 - 1 ) + B ∙ ( A - 1 I n + B A - 1 - 1 ) = I n

Colocando ( I n + B A - 1 ) - 1 em evidência:

( A ∙ A - 1 + B ∙ A - 1 )   I n + B A - 1 - 1 = I n

Passo 3

Como sabemos que A ∙ A - 1 = I n :

( I n + B ∙ A - 1 )   I n + B A - 1 - 1 = I n

Aqui, podemos aplicar novamente a propriedade de que A ∙ A - 1 = I n , para qualquer matriz A, pois temos

( I n + B ∙ A - 1 )

E sua inversa

I n + B A - 1 - 1

Assim:

( I n + B ∙ A - 1 )   I n + B A - 1 - 1 = I n

É tal que

I n = I n

Que é uma igualdade válida e comprova, então, que

( A + B ) - 1 = A - 1 ( I n + B A - 1 ) - 1

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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