Seja A uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero ( a i j = 0 , para i ≠ j ) , Se a i i ≠ 0 , para i = 1,..., n, mostre que A é invertível e a sua inversa é também uma matriz diagonal com elementos na diagonal dados por 1/ a 11 ,1 / a 22 , ..., 1/ a n n .

Enunciado

Primeiro, devemos saber que o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, .

Assim, dada a matriz diagonal A:

Sua inversa é tal que:

Utilizando a propriedade matricial citada anteriormente:

Desenvolvendo o lado esquerdo, temos que:

Para que a igualdade seja verdadeira:

Assim:

Demonstração ao longo dos passos.

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