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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 12

Seja A uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero ( a i j = 0 ,   para i ≠ j ) , Se a i i ≠ 0 , para i = 1,..., n, mostre que A é invertível e a sua inversa é também uma matriz diagonal com elementos na diagonal dados por 1/ a 11 ,   1 / a 22 , ..., 1/ a n n .

Passo 1

Primeiro, devemos saber que o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A ∙ A - 1 = A - 1 ∙ A = I n .

Assim, dada a matriz diagonal A:

A = a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n

Sua inversa é tal que:

A - 1 = w ⋯ x ⋮ ⋱ ⋮ y ⋯ z

Passo 2

Utilizando a propriedade matricial citada anteriormente:

A ∙ A - 1 = I n

a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n ∙ w ⋯ x ⋮ ⋱ ⋮ y ⋯ z = 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

Desenvolvendo o lado esquerdo, temos que:

a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n ∙ w ⋯ x ⋮ ⋱ ⋮ y ⋯ z = a 11 ∙ w + … + 0 ∙ y ⋯ a 11 ∙ x + … + 0 ∙ z ⋮ ⋱ ⋮ 0 ∙ w + … + a n n ∙ y ⋯ 0 ∙ x + … + a n n ∙ z  

Passo 3

Para que a igualdade seja verdadeira:

a 11 ∙ w ⋯ a 11 ∙ x ⋮ ⋱ ⋮ a n n ∙ y ⋯ a n n ∙ z = 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

w = 1 a 11

x =   0

y = 0

z = 1 a n n

Assim:

A - 1 = 1 a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 a n n

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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