Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 26

Mostre que a matriz A é positiva usando primeiro o Teorema 7.3.2 e depois o Teorema 7.3.4.

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Vamos resolver juntos! Temos a seguinte matriz:

O teorema 7.3.2 nos diz:

Já o teorema 7.3.4 nos diz:

“

Passo 2

Vamos começar resolvendo pelo teorema 7.3.2. Precisamos então encontrar os autovalores da matriz ! Para isso, vamos calcular o polinômio característico:

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

Para isso, primeiro calculamos o valor de delta:

Agora que encontramos o valor de delta, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Como podemos observar, os autovalores dessa matriz são e . Ambos são positivos, portanto, como a matriz apresenta todos os autovalores positivos, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.2.

Passo 5

Metade da primeira letra já foi galera! Agora vamos aplicar o teorema 7.3.4! Vamos calcular o determinante das submatrizes principais:

Passo 6

Como podemos observar, os determinantes das submatrizes são ambos positivos, portanto, como a matriz apresenta o determinante de cada submatriz principal positivo, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.4.

Passo 7

Vamos continuar para a letra :

Vamos começar resolvendo pelo teorema 7.3.2. Precisamos então encontrar os autovalores da matriz ! Para isso, vamos calcular o polinômio característico:

Passo 8

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

Ficou fácil um dos autovalores né galera? Esse polinômio é nulo para o valor ! Portanto, um autovalor é:

Agora, precisamos calcular os outros autovalores, ou seja, as raízes da equação:

Para isso, primeiro calculamos o valor de delta:

Agora que encontramos o valor de delta, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

Portanto, os autovalores são:

Portanto, os autovalores do polinômio característico são:

Passo 9

Como podemos observar, os autovalores dessa matriz são , e. Todos são positivos, portanto, como a matriz apresenta todos os autovalores positivos, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.2.

Passo 10

Metade da segunda letra já foi galera! Tá acabando! Agora vamos aplicar o teorema 7.3.4! Vamos calcular o determinante das submatrizes principais:

Passo 11

Como podemos observar, os determinantes das submatrizes são todos positivos, portanto, como a matriz apresenta o determinante de cada submatriz principal positivo, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.4.