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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 4

Qual é a equação da circunferência que passa pelos pontos A = (1, 2), B = (3, 4) e tem o centro sobre o eixo OY?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos partir da seguinte ideia, se os pontos A e B pertencem à circunferência, ou seja, eles satisfazem a seguinte equação:

x - x c 2 + y - y c 2 = r ² (eq. 1)

Além disso, sabemos que se o centro da circunferência se encontra no eixo Y, então x c = 0 .

Substituindo as coordenadas de A na equação 1, temos:

1 - 0 2 + 2 - y c 2 = r 2 →     y c 2 - 4 y c + 5 = r ² (eq. 2)

Substituindo as coordenadas de B na equação 1, temos:

3 - 0 2 + 4 - y c 2 = r 2 →     y c 2 - 8 y c + 25 = r ² (eq. 3)

Como ambas as equações 2 e 3 são iguais ao quadrado do raio da circunferência podemos igualá-las, assim obtemos:

y c 2 - 4 y c + 5 =   y c 2 - 8 y c + 25

y c 2 - 4 y c -   y c 2 + 8 y c = 25 - 5

Somando os termos comuns, chegamos a:

4 y c = 2 0 → y c = 5

Ou seja, o centro da circunferência está no ponto (0,5). Nos falta descobrir o raio, vamos fazer isso substituindo o valor de y na equação 2.

y c 2 - 4 y c + 5 = r ²

5 ² - 4 . 5 + 5 = r ²

r 2 = 10

Com essas informações podemos reescrever a equação 1 que define a circunferência.

x - 0 2 + y - 5 2 = 10

A equação da circunferência é:

x ² + y - 5 2 = 10

Resposta

x ² + y - 5 2 = 10

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