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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 3

Se o ponto O é a origem do eixo E e A é o ponto desse eixo que tem coordenada 1, qual é a coordenada do ponto X que divide o segmento OA em média e extrema razão? No exercício 2 calcule a razão áurea d A , X d ( X , B )

Passo 1

Falaaa, blz? Vamos relembrar como que é definido esse ponto que divide um segmento em média e extrema razão:

Diz-se que o ponto X divide o segmento AB em média e extrema razão (divisão áurea) quando se tem:

d A , X d ( A , B ) = d X , B d ( A , X )

Passo 2

Vamos usar essa definição, usando que 0 < x < 1 , pois X divide OA

Além disso, vale lembrar do conceito de distância usando coordenadas.

d A , B = b - a   ,     s e   b > a

Passo 3

Substituindo na primeira definição:

d O , X d ( O , A ) = d X , A d ( O , X )

x - 0 1 - 0 = 1 - x x

x 2 = ( 1 - x )

x 2 - 1 + x = 0

x = - 1   ± 1 - 4 ( - 1 ) 2

x = - 1   ±   5 2

Como 0 < x < 1 , temos que x = 5 - 1 2

Ou seja d A , X d X , B é :

5 - 1 2 1 - 5 - 1 2 = 5 - 1 2 - 5 + 3 2 = 5 - 1 3 - 5 = 1,618

Resposta

x = 5 - 1 2

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