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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 3

Achar a distancia do ponto P à reta r nos casos

P (2,3 , - 1) r : x = 3 + t y = - 2 t z = 1 - 2 t

Passo 1

A distancia de um ponto à uma reta é calculada a partir dessa fórmula aqui: d (P , r) = (| vec v xx vec A |)/(| vec v |)

Lembrando que o produto vetorial é calculado desse jeitão

vec a xx vec b = |[[i,j,k],[a_x,a_y,a_z],[b_x,b_y,b_z]]|

E o módulo assim:

|vec a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 2

Então vamos começar a colocar a mão na massa começando calculando o vetor da reta r

r : x = 3 + t y = - 2 t z = 1 - 2 t

Como já temos tudo em função de t , ficamos que a parametrização de r é

r : (3 + t , - 2 t , 1 - 2 t)

r : (3 , o , 1) + t ( 1 , - 2 , - 2 )

Então nosso vetor vec v fica:

vec v = ( 1 , - 2 , - 2 )

Passo 3

Agora precisamos de um vetor vec A P , P nós ja temos, falta achar um ponto A na reta, vamos pegar a parametrização quando t = 0

A = (3 , 0 , 1)

Nosso vetor vec A P então fica

vec A P = P - A = (2,3 , - 1) - (3,0 , 1)

vec A P = ( - 1,3 , - 2 )

Passo 4

Agora que já temos nossos vetores, vamos partir pra cima do d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |) , começando pelo produto vetorial, ficamos com

vec A P xx vec v = |[[i,j,k],[1,-,3,2],[1,-,2,-,2]]|

Nosso produto então fica

vec A P xx vec v = ( 10,4 , 1 )

Passo 5

Agora usando a formula da distancia, ficamos com

d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |)

d (P , r) = (sqrt(10^2 + 4^2 + 1^2))/(sqrt(1^2 + (- 2)^2 + (- 2)^2))

d (P , r) = (sqrt(117))/(3)

Resposta

d (P , r) = (sqrt(117))/(3)

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Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E ³ ³ que equidistam de A , B e C e determine as coordenadas do circuncentro do triângulo A B C , nos casos:b) A = 3 ,0 ,1 B = 2 ,1 ,0 C = ( 4 ,- 1 ,