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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 5

Se Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0 é a equação de uma circunferência, quais são as coordenadas do centro?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos completar os quadrados da equação A x 2 + A y 2 + D x + E y + F = 0 . Para obtermos a equação reduzida da circunferência, pois nela fica mais prático identificar as coordenadas do centro.

Nosso objetivo é transformar a equação dada em algo parecido com: x - a 2 + ( y - b ) ² = r 2

Onde (a,b) é o nosso centro e r é o raio da circunferência.

Para começar vamos simplificar a nossa equação, dividindo todos os termos por A. Obtendo assim:

x 2 + y 2 + D A x + E A y + F A = 0

Agora vamos manipular matematicamente os termos da nossa equação e tentar completar um produto notável do tipo a + b 2 = a 2 + 2 a b + b ² .

Começando com a variável x, queremos completar o trinômio x 2 + D A x . Comparando com a equação acima, temos:

a =   1 ;     2 b =   D A → b =   D 2 A

Logo, o quadrado perfeito é:

x + D 2 A 2 =   x 2 + D A x + D ² 4 A ²

Assim, já obtemos a primeira coordenada do centro da nossa circunferência:

x C =   - D 2 A

De modo análogo, para a variável y, teremos o trinômio y 2 + E A y .

Onde:

a =   1 ;     2 b = E A →   b = E 2 A

Logo, o quadrado perfeito é:

y + E 2 A 2 =   y 2 + E A y + E ² 4 A ²

Com isso, conseguimos a segunda coordenada do centro da nossa circunferência:

y C =   - E 2 A

Portanto, o centro da circunferência é dado por:

C = - D 2 A , - E 2 A

Resposta

O centro da circunferência é dado por: C = - D 2 A , - E 2 A

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