Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 4d
Completando os quadrados, decida se cada uma das equações abaixo define uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio:
d) 4x² + 4y² − 4x − 8y + 21 = 0.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??
Vamos completar os quadrados da equação .
Para simplificar a equação vamos dividir todos os seus termos por 4, obtendo:
Para começar vamos manipular matematicamente os termos que possuem a variável e tentar completar um produto notável do tipo .
Começando com a variável x, queremos completar o trinômio .
Teremos:
Logo, o quadrado perfeito é:
Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é .
Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.
De modo análogo, para a variável y, teremos o trinômio .
Onde:
Logo, o quadrado perfeito é:
Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é .
Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.
Voltando à nossa equação inicial, teremos:
Que pode ser reescrita como:
Vamos agora somar os dois valores encontrados para completar os quadrados em ambos os lados da equação.
Ajustando os quadrados, teremos:
Como não existe soma de quadrados que resulte em um número negativo não existe um ponto ou conjunto de pontos que satisfaça a equação, logo ela representa um conjunto vazio.
Resposta
Tal equação define um conjunto vazio.