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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 6

Escreva uma equação do plano que passa por A = ( 0,2 , - 1 ) e B = ( 1,2 , 3 ) e que é perpendicular ao plano 2 x   - y   +   z   + 3   = 0 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo beleza?

Nessa questão, temos que ser espertos e lembrar que se o plano que queremos (vamos chamá-lo de π ) é perpendicular a 2 x   - y   +   z   + 3   = 0 , então o vetor normal a 2 x   - y   +   z   + 3   = 0 , que é n → = ( 2 , - 1,1 ) , pertence ao plano π . Além disso, temos o vetor

A B → = B - A = ( 1,2 , 3 ) - ( 0,2 , - 1 ) = ( 1,0 , 4 )

Falta só mais um vetor, que precisa ser l.d. com os outros dois. Vamos considerar um ponto genérico do plano dado por P = ( x , y , z ) . Assim, temos o vetor

P B → = ( x , y , z ) - ( 0,2 , - 1 ) = ( x , y - 2 , z + 1 )

Passo 2

Agora, sabendo que os três vetores obtidos devem ser l.d., temos

⇒ 4 x - ( y - 2 ) ( 1 - 8 ) + ( z + 1 ) ( - 1 ) = 0 ⇒ 4 x + 7 ( y - 2 ) - ( z + 1 ) = 0

⇒ 4 x + 7 y - 14 - z - 1 = 0 ⇒ 4 x + 7 y - z - 15 = 0

Resposta

4 x + 7 y - z - 15 = 0

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