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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 16

Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de dois pontos distintos A = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e B = ( x 2 , y 2 , z 2 ) é um plano que passa pelo ponto médio do segmento A B e é perpendicular a ele. Esse plano é chamado de plano mediador do segmento A B .

Passo 1

Oiii, tudo certinho contigo?

Para resolver esta questão vamos lembrar que a distância entre pontos é dada pela seguinte relação:

d i s t P , Q = P Q →

Isso deve ser o suficiente para mostrarmos o que o enunciado pede, belezinha? Bora lá!

Passo 2

Se considerarmos um ponto X m é d i o = ( x m , y m , z m ) , temos que:

d i s t A , X = x m - x 1 2 + y m - y 1 2 + z m - z 1 2

E também temos que

d i s t B , X = x m - x 2 2 + y m - y 2 2 + z m - z 2 2

Estes pontos são equidistantes deste ponto médio, portanto, temos que:

d i s t A , X = d i s t ( B , X )

Vamos utilizar esta relação!

Passo 3

Assim obtemos que:

x m - x 1 2 + y m - y 1 2 + z m - z 1 2 = x m - x 2 2 + y m - y 2 2 + z m - z 2 2

Podemos expandir todos os quadrados para obter:

x m 2 - 2 x 1 x m + x 1 2 + y m 2 - 2 y 1 y m + y 1 2 + z m 2 - 2 z 1 z m + z m 2 = →

→ = x m 2 - 2 x 2 x m + x 2 2 + y m 2 - 2 y 2 y m + y 2 2 + z m 2 - 2 z 2 z m + z m 2

Podemos eliminar os termos de x m 2 ,   y m 2   e   z m 2 , temos então:

- 2 x 1 x m + x 1 2 - 2 y 1 y m + y 1 2 - 2 z 1 z m = - 2 x 2 x m + x 2 2 - 2 y 2 y m + y 2 2 - 2 z 2 z m

Vamos simplificar mais um pouco!

Passo 4

Rearranjando um pouco os termos, temos que:

2 x 2 - x 1 x m + 2 y 2 - y 1 y m + 2 z 2 - z m z m = x 2 2 - x 1 2 + y 2 2 - y 1 2 + ( z 2 2 - z 1 2 )

A equação acima pode ser identificada com a equação de um plano, note que a forma geral é dada como:

a x + b y + c + d = 0

Precisamos identificar que:

a = 2 x 2 - x 1 ,     b = 2 y 2 - y 1   e   c = 2 ( z 2 - z 1 )

E, por último:

d = - [ x 2 2 - x 1 2 + y 2 2 - y 1 2 + z 2 2 - z 1 2 ]  

Portanto, este plano é o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes tanto à A quanto à B . Falta só mais uma coisinha!

Passo 5

Note também que como temos um vetor normal da forma:

N = ( 2 x 2 - x 1 , 2 y 2 - y 1 , 2 ( z 2 - z 1 ) )

Que é paralelo ao segmento A B , temos que o plano é perpendicular ao segmento! A questão foi isso! Bora para próxima! Tchau Tchau!!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

b) Calcule a distância de r a pi .
Verifique que a reta r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, -1, 0) é paralela ao plano π = x + y + z = 0
Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta: x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3 b) Calcule a distância entre r 1 e r 2 .
Ache todas as retas que passam pelo ponto (1, -2, 3) e que formam ângulos 45° e 60° com os eixos x e y respectivamente.
b) Determine a equação do plano π 2 que passa por D = (-1, 4, -1), E = (3/2, -1, 10) e é paralelo ao eixo z.