O ângulo entre uma reta r que tem vetor diretor V = ( a , b , c ) e um plano π que tem vetor normal N = ( a π , b π , c π ) é definido pelo complementar do ângulo entre uma reta perpendicular ao plano π e a reta r . Mostre que

sin ⁡ ( r , π ) = N ⋅ V N V .

Passo 1

Eaew, belezinha? Bora fazer mais uma?

Vamos começar observando o seguinte esquema:

Vamos analisar este esquema com mais calma! Bora lá!

Passo 2

Note que se considerarmos o módulo do produto escalar entre N → e V → , temos que:

N → ⋅ V → = N → V → cos ⁡ ( θ )

Nós temos que:

π 2 = θ + α → θ = π 2 - α

Portanto, temos que:

N → ⋅ V → = N → V → cos ⁡ π 2 - α = N → V → cos ⁡ π 2 - α

Vamos reescrever isso um pouquinho!

Passo 3

Lembrando que:

cos ⁡ A + B = cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) - sin ⁡ A sin ⁡ ( B )

E como, cos ⁡ ( π 2 ) = 0 e sin ⁡ ( π 2 ) = 1 . Temos que:

cos ⁡ ( π 2 - α ) = sin ⁡ ( α )

E portanto, temos que:

N → ⋅ V → = N → V → sin ⁡ ( α )

Finalmente, temos que:

sin ⁡ ( α ) = N → ⋅ V → N → V →

Para garantirmos que as direções dos vetores sejam irrelevantes, é necessário considerar:

sin ⁡ ( α ) = N → ⋅ V → N → V →

Como queríamos demonstrar, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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