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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 31d

Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:

3 x 2 + 2 y 2 - 12 x + 8 y + 19 = 0

Passo 1

Vamos começar analisando a equação dada:

3 x 2 + 2 y 2 - 12 x + 8 y + 19 = 0

Aqui temos um x e um y ao quadradado, indicando que pode ser tratar tanto de uma hipérbole, quanto de uma elipse. Isolando os termos em comum:

3 x 2 - 12 x + 2 y 2 + 8 y = - 19

Como tanto   x 2 e y 2 são positivos, o que temos aqui é uma elipse. Completando os quadrados, teremos:

3 x 2 - 4 x + 2 2 - 2 2 + 2 y 2 + 4 y + 2 2 - 2 2 = - 19

3 x 2 - 4 x + 4 - 3.4 + 2 y 2 + 4 y + 4 - 2.4 = - 19

3 x - 2 2 - 12 + 2 y + 2 2 - 8 = - 19

3 x - 2 2 + 2 y + 2 2 = 1

A equação de translação pode ser dada por:

x ' = ( x - 2 )

y ' = ( y + 2 )

3 x ' 2 + 2 y ' 2 = 1

Passo 2

Nossa equação é:

3 x - 2 2 + 2 y + 2 2 = 1

Não sabemos ainda se segue a primeira ou segunda referência.

Que pode ser escrita como:

x - 2 2 1 3 + y + 2 2 1 2 = 1

Como 1 2 e maior que 1 3 teremos equação da elipse será dada por:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Podemos dizer que o Eixo Maior é dado por 2 a e o menor é dado por 2 b . Se:

a 2 = 1 2

a = 1 2 = 2 2

b 2 = 1 3

a = 1 3 = 3 3

Então o eixo maior vale 2 e o menor vale 2 3 3 .

Outra coordenada que podemos determinar é h e k que acompanham x e y na equação:

h = 2

k = - 2

Além disso, conhecemos a e b , mas desconhecemos c . O teorema de Pitágoras de uma Elipse é dado por:

a 2 = c 2 + b 2

1 2 2 = c 2 + 1 3 2

Multiplicando por 6 :

3 = 2 + 6 c 2

c 2 = 1 6

c = 1 6 = 6 6

Vamos agora calcular F 1,2 ; A 1,2   e   B 1,2 :

A 1,2 = ( h , k + a )

B 1,2 = ( h ± b , k )

F 1,2 = ( h , k ± c )

Então:

A 1 = 2 , - 2 - 2 2 = ( 2 ; - 2,7 )

A 2 = 2 , - 2 + 2 2 = ( 2 ; 1,3 )

B 1 = 2 + 3 3 , - 2 = ( 2,57 ; - 2 )

B 2 = 2 - 3 3 , - 2 = ( 1,45 ; - 2 )

F = 2 ± 3 3 , - 2

Passo 3

Resposta

3 x ' 2 + 2 y ' 2 = 1 , elipse, eixo maior   2 , eixo menor 2 3 3 , focos F 2 , - 2 ± 6 6

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Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.11) centro C ( 0 ,0 ) , um foco F 0 , - 5 e eixo menor mede 4.
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.15) centro C ( 2 ,4 ) , um foco F ( 5 ,4 ) e excentricidade 3 4 .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.17) centro C ( - 3 ,0 ) , um foco F ( - 1 ,0 ) e tangente ao eixo dos y .
Em cada um dos problemas 9 a 22, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:Centro C 2 ,- 1 , tangente aos eixos coordenados e eixo de simetria paralelo aos eixo dos coordenados.
Em cada um dos problemas 23 a 28, determinar o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico 25 x 2 + 16 y 2 + 50 x + 64 y - 311 = 0