(Requer Cálculo) Seja J : P n → P n + 1 a transformação de integração definida por

∫ 0 x a 0 + a 1 t +   .   .   .   + a n t n d t = a 0 x + a 1 2 x 2 + .   .   .   + a n n + 1 x n + 1

Em que p = a 0 + a 1 x +   .     .     .   + a n x n . Encontre a matriz de J em relação às bases canônicas de P n e P n + 1 .

Passo 1

A base B é o resultado da integral de p , ou seja:

∫ 0 x a 0 + a 1 t +   .   .   .   + a n t n d t = a 0 x + a 1 2 x 2 + .   .   .   + a n n + 1 x n + 1

Colocando em B

B = a 0 x + a 1 2 x 2 + .   .   .   + a n n + 1 x n + 1

Ai, como começa com x, a primeira linha é de zeros, e fazemos a multiplicação J x = B

0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 n - 1 .   x = 0 a 0 x a 1 2 x 2 ⋮ a n n + 1 x n + 1

Resposta

J = 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 ⋯ 0 0 1 2 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 n - 1

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