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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 7b

Verificar se são bases de R 3 * os seguintes conjuntos:

F , G , H ,   o n d e   F x , y , z = 2 x + y - z ,   G x , y , z = x e H x , y , z = x - y + 4 z

Passo 1

Suponha um conjunto de vetores v 1 , v 2 , v 3 dizemos que eles serão considerados uma base de um espaço, se e somente se, eles forem definidos como linearmente independentes. Um conjunto é dito LI, é um tal conjunto tal que, se escrevermos sua combinação linear dada por

α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0

α ,   β e γ devem ser necessáriamente nulos para que a combinação linear seja nula também.

Caso exista uma situação na qual teremos que α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0 com α ,   β ou γ diferente de zero, então o conjunto é dito linearmente dependete (LD)

Passo 2

Depois da lenga lenga do passo 1, fazemos

α F + β G + γ H = 0

Então teremos

α 2 x + y - z + β x + γ x - y + 4 z = 0

= x 2 α + β + γ + y α - γ + z - α + 4 γ = 0

Na qual temos que, para que nossa equação acima seja sempre nula, devemos ter que

2 α + β + γ = 0 α - γ = 0 - α + 4 γ = 0

Observe que a segunda e a terceira equação nos dão o seguinte

2 ª E q . :   α - γ = 0 → α = γ

3 ª E q . :   - α + 4 γ = - γ + 4 γ = 0 → γ = 0 → α = 0

Logo a ultima equação

Será

2 α + β + γ = β = 0

Logo todos os elementos deverão ser nulo para que para qualquer x , y , z a equação

α 2 x + y - z + β x + γ x - y + 4 z

Seja sempre nula.

Resposta

F o r m a m

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