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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 22

(Requer Cálculo) Sejam p ( x ) e q ( x ) funções contínuas e con sidere o subespaço   V de C ( - ∞ ,   + ∞ ) que consiste em todas as funções que são duas vezes deriváveis. Defina   L : V → V por

L y x =   y ' ' x + p x   y ' x + q x y ( x )

(a) Mostre que L é uma transformação linear.

(b) Considere o caso especial em que p ( x )   =   0 e q ( x )   =   1 . Mostre que a função

ϕ x = c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x

Está no núcleo de L , quasiquer que sejam valores reais c 1 e c 2 .

Passo 1

Em (a), para mostrar que é uma transformação linear, é necessário ter em mente sua definição:

1 .     T k v = k T v

2 .       T u + v = T u + T ( v )

Assim, vamos aplicar o conceito na equação diferencial. Assim

1 y ' ' x + p x   y ' x + q x y x

[ 1 p ( x ) q ( x ) ]

Em 1

k 1 p x q x = [ k k p ( x ) k q ( x ) ]

Em 2

1 + u p x + u q x + u = 1 p x q x + [ u u u ]

Mostrando que é uma transformação linear

Passo 2

Em (b), vamos substituir a equação:

1 y ' ' x + 0 .   y ' x + 1 y x = y ' ' x + y ( x )

E considerando uma equação diferencial homogênea:

y ' ' → r 2

y ' → r

y → 1

Substitui

r 2 + 1 = 0

Logo

r = ± 1 i ,   i ∈ I

Colocando na equação

e 0 C 1 cos ⁡ ( 1 + C 2   s e n ( 1 ) ] = C 1 cos ⁡ ( 1 + C 2   s e n ( 1 )

Que tem a forma semelhante proposto pelo exercício

ϕ x = c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x

Portanto, está no núcleo de L , quasiquer que sejam valores reais c 1 e c 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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