(Requer Cálculo) Sejam p ( x ) e q ( x ) funções contínuas e con sidere o subespaçoV de C ( - ∞ ,+ ∞ ) que consiste em todas as funções que são duas vezes deriváveis. DefinaL : V → V por L y x =y ' ' x + p xy ' x + q x y ( x ) (a) Mostre que L é uma transformação linear.(b) Considere o caso especial em que p ( x )=0 e q ( x )=1 . Mostre que a função ϕ x = c 1 s e nx + c 2 cos ⁡ x Está no núcleo de L , quasiquer que sejam valores reais c 1 e c 2 .

Enunciado

Em (a), para mostrar que é uma transformação linear, é necessário ter em mente sua definição:

Assim, vamos aplicar o conceito na equação diferencial. Assim

Em 1

Em 2

Mostrando que é uma transformação linear

Em (b), vamos substituir a equação:

E considerando uma equação diferencial homogênea:

Substitui

Logo

Colocando na equação

Que tem a forma semelhante proposto pelo exercício

Portanto, está no núcleo de , quasiquer que sejam valores reais e

Ei, a resposta está no passo a passo :)