Nos Exercícios 11-12, encontre a área do paralelogramo com os vértices dados.

12. P 1 3 , 2 ,     P 2 5 , 4 ,     P 3 9 , 4 ,     P 4 ( 7 , 2 )

Passo 1

Para calcularmos a área de um paralelogramo, sabemos A = (base)⋅(altura) , porém como estamos tratando de vetores bidimensionais, podemos calcular a área desse paralelogramo, obtendo o valor absoluto do determinante da matriz composta por dois vetores, esses vetores vão ser correspondentes a base e a altura do paralelogramo, veja só:

Temos um paralelogramo formado pelos vértices e vetores indicados na figura:

A partir da figura podemos retirar as seguintes informações:

base = P 1 P 2 → = P 4 P 3 →

altura = P 2 P 3 → = P 1 P 4 →

Logo podemos escolher quaisquer dois vetores correspondentes a base e altura para calcularmos a área em vermelho desse paralelogramo.

Passo 2

Temos os seguintes os vértices: P 1 3,2 ,     P 2 5,4 ,     P 3 9,4 ,     P 4 ( 7,2 ) a partir deles vamos encontrar o vetores: P 1 P 2 → e P 2 P 3 → .

P 1 P 2 → = P 2 - P 1 = 5 , 4 - 3 , 2 = 5 - 3 ,   4 - 2 = ( 2 , 2 )

P 2 P 3 → = P 3 - P 2 = 9 , 4 - 5 , 4 = 9 - 5 ,   4 - 4 = ( 4 , 0 )

Passo 3

Agora temos os vetores: P 1 P 2 → = ( 2 , 2 ) e P 2 P 3 → = ( 4 , 0 ) , podemos encontrar a área:

A = 2 2 4 0 = 2 × 0 - 4 × 2 = 0 - 8 = - 8

Logo como queremos o valor absoluto do determinante, temos que A = - 8 = 8 .

Resposta

A = 8

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