Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 6
Suponha que os vetores em sejam denotados por matrizes e defina por:
- Encontre uma base para o núcleo de .
- Encontre uma base para a imagem de .
Passo 1
-
Para encontrar a base do , temos de saber que:
Sendo um vetor qualquer .
Pela segunda equação, teremos:
Substituindo na primeira equação, teremos:
Portanto:
E o núcleo, será:
Passo 2
Para obter a imagem de , temos de saber que:
Assim:
Entretanto, sendo os vetores lineares da nossa canônica matriz são:
Mas, logo os vetores lineares da nossa matriz formam um conjunto L.D.
Como e são L.I logo eles serão a imagem de , assim:
Resposta
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Seja D : P 3 → P 2 a transformação de derivação D p → = p ' x . Descreva o núcleo de D
Sejam { v 1 → , … ,v n → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → W uma transformação linear. Mostre que se T v 1 → = … = T v n → = 0 → Então T é a transformação nula.
Seja T : R 3 → W uma transformação linear de R 3 num espaço vetorial qualquer. Dê uma descrição geométrica de N u c ( T )
Sejam J : P 1 → R a transformação de integração J p → = ∫ - 1 1 p x d x . Descreva o núcleo de J.
Prove: se v 1 → , … ,v n → for uma base V e w 1 → ,… , w n → vetores em W , não necessariamente distintos, então existe alguma transformação linear T : V → W tal que: T v 1 → = w 1 → , … ,T v n → = w