1. Pra encontrar o polinômio característico a gente resolve o determinante:

Mas:

Daí a gente volta pro determinantes:

E lembrando que o determinante de uma matriz triangular é só multiplicar os elementros da diagonal principal:

Pra achar os autovalores fazemos:

Então ficamos com os seguintes autovalores:

ou

E os autovetores:

- pra :

- pra :

Passo 3

2. Vamos começar expressando a nossa base como combinação da base canônica:

- pro primeiro vetor, :

Fazendo o sisteminha:

Resolvendo:

Então ficamos com o vetor:

- pro vetor ficamos com:

- e pro vetor ficamso com:

Ficamos com a matriz:

Calculando a inversa:

Então vamos precisar achar a matriz:

Tal que:

Vamos fazer esse vucovuco de multiplicação de matriz aos pouquinhos:

- fazendo primeiro:

- e agora fazemos:

Então:

E pra achar o polinômio característico:

Esse já é o resultado, até, mas vamos dar uma mexidinha pra ver um negócio interessante:

E vem mais magicazinha: ()

Que é a mesma coisa que:

Hujmmmmmmm.... é igualzinho ao de lá de cima... ou seja... o polinômio característico (e também os autovalores, né... ) independem da base.

Passo 4

3. Como lá no item a) a gente só achou dois autovetores LI para , então não existe uma base em constituida apenas por autovetores. Então não é diagonalizável.

Então não existe base .