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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 7

7. a) Sejam T : V → V um operador linear (V de dimensão finita) e α e β bases distintas de T . Mostre que

det ⁡ T α α = det ⁡ T β β

(Sugestão: veja a relação entre T α α e T β β no capítulo 6).

b) Se A n × m   é diagonalizável, mostre que o determinante de A é o produto de seus autovalores.

(Sugestão: considere T A : R n → R n , observando que a matriz de T A na base canônica é exatamente A. Use então o resultado do item (a) considerando como α a base canônica e β a base de autovetores).

Passo 1

E aiii... vamos pra mais uma questão?

Aqui vamos usar a relação entre as duas bases e tals:

T β β = P T α α P - 1

E vamos usar a propriedade de determinantes:

det ⁡ A B = det ⁡ A × det ⁡ B

Ah... e também pra achar o polinômio característico:

p λ = det ⁡ A - λ I

Passo 2

  1. Vamos pegar a relação entre as duas bases e aplicar determinantes dos dois lados:

    2. det ⁡ T β β = det ⁡ P T α α P - 1

    Aplicando a propriedade:

    det ⁡ T β β = det ⁡ P × det ⁡ T α α × det ⁡ P - 1

    Agora como são determinantes, podemos fazer o seguinte (quando era só matriz, não podia):

    det ⁡ T β β = det ⁡ P × det ⁡ P - 1 × det ⁡ T α α

    det ⁡ T β β = det ⁡ P P - 1 × det ⁡ T α α

    det ⁡ T β β = det ⁡ I × det ⁡ T α α

    E como det ⁡ I = 1 , então:

    det ⁡ T β β = det ⁡ T α α

    Como queríamos demonstrar.

    Passo 3

  2. Bom... se a matriz A é diagonalizável, então existe uma matriz P dos autovetores linearmente independentes e que são base de R n .

E dessa forma, então...

T β β = P A P - 1

E também T β β é uma matriz diagonal onde as entradas na diagonal principal são os autovalores.

E como det ⁡ T α α = det ⁡ T β β

det ⁡ A = det ⁡ T β β

Então determinantes de A é o produto de seus autovalores.

Resposta

Demonstração.

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