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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 14

Nos Exercícios 13-16, determine se os planos dados são paralelos

x - 4 y - 3 z - 2 = 0 3 x - 12 y - 9 z - 7 = 0

Passo 1

Vamos fazer um esboço dos planos paralelos

Para que os planos sejam paralelos, então os vetores diretores devem ser paralelos também. Pelo Teorema 3.3.1(b), um plano pode ser definido pelo vetor n → = ( a , b , c ) e pela equação

a x + b y + c z + d = 0

Ou seja, só de olhar para a equação do plano já temos o vetor diretor. Depois podemos calcular se eles são paralelos.

Passo 2

Observando as equações podemos pegar os vetores diretores. O número que multiplica o x é a componente x do vetor, e assim por diante:

x - 4 y - 3 z - 2 = 0 ⇒ n → 1 = ( 1 , - 4 , - 3 ) 3 x - 12 y - 9 z - 7 = 0 ⇒ n → 2 = ( 3 , - 12 , - 9 )

Perceba que se você multiplicar o vetor n → 1 por 3 , então ele será igual ao vetor n → 2 .

Passo 3

Mas caso você não consiga perceber, uma outra forma de garantir o paralelismo entre vetores é calcular o ângulo entre eles. Se for igual a zero ou a cento e oitenta graus então os vetores são paralelos:

cos ⁡ α = n → 1 ⋅ n → 2 n → 1 ⋅ n → 2

Aplicamos os valores dos vetores

cos ⁡ α = ( 1 , - 4 , - 3 ) ( 3 , - 12 , - 9 ) ( 1 , - 4 , - 3 ) ⋅ ( 3 , - 12 , - 9 )

cos ⁡ α = 1 ⋅ 3 + ( - 4 ) ⋅ ( - 12 ) + ( - 3 ) ⋅ ( - 9 ) 26 ⋅ 234

cos ⁡ α = 78 78

α = 0

Isso prova que os planos são paralelos.

Resposta

Os planos são paralelos

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