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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 7

Verifique se os pontos A 1,1 , 1 ,   B - 2,0 , 3   e   C ( - 3 , - 1,1 ) formam os vértices de um triângulo retângulo. Explique sua resposta.

Passo 1

O nosso primeiro impulso para resolver esse tipo de questão é desenhar os pontos em um gráfico

Mas há alguns problemas com essa abordagem:

  • Desenhar gráficos podem envolver problemas na precisão das medidas
  • Pode ser difícil de visualizar os ângulos desejados.
  • Gráficos em 3D são difíceis de desenhar. E para maiores dimensões são impossíveis

    • E o mais importante

  • Desenhos em um gráfico não são uma prova matemática rigorosa, e por isso não servem aos nossos propósitos

Passo 2

Os pontos podem ser ligados entre si através de vetores da seguinte forma

A nossa tática vai ser calcular os valores de α ,   β   e   θ , e se algum deles for igual à 90º, então o triângulo é um triângulo retângulo.

Mas antes, precisamos calcular o valor dos vetores que entre os pontos:

A B → = B - A = - 2 ,   0,3 - 1,1 , 1 ⇒ A B → = - 3 , - 1,2 B C → = C - B = - 3 , - 1,1 - - 2,0 , 3 ⇒ B C → = - 1 , - 1 , - 2 A C → = C - A = - 3 , - 1,1 - 1,1 , 1 ⇒ A C → = ( - 4 , - 2,0 )

Passo 3

Primeiro, vamos testar o ângulo β , utilizando a Equação (20) da Seção 3.2. Mas note que a equação calcula o ângulo entre dois vetores com a origem no mesmo ponto. Então vamos fazer uma brincadeira geométrica para calcular o ângulo:

Então primeiro vamos calcular o ângulo β ' ' e depois calculamos o ângulo β ;

cos ⁡ β ' ' = A B → ⋅ B C → A B → ⋅ B C →

Aplicamos os valores dos vetores:

cos ⁡ β ' ' = ( - 3 , - 1,2 ) ⋅ ( - 1 , - 1 , - 2 ) ( - 3 , - 1,2 ) ⋅ ( - 1 , - 1 , - 2 )

cos ⁡ β ' ' = - 3 ⋅ - 1 + - 1 ⋅ - 1 + 2 ⋅ ( - 2 ) - 3 2 + - 1 2 + 2 2 ⋅ - 1 2 + - 1 2 + - 2 2

cos ⁡ β ' ' = 0 9 + 1 + 4 ⋅ 1 + 1 + 4

cos ⁡ β ' ' = 0

E aplicamos o arcocosseno:

β ' ' = acos ⁡ 0

β ' ' = 90 º

Então, podemos calcular o valor de beta:

β = 180 - β ' '

β = 90 º

Como o ângulo é igual à noventa graus, então este é um triângulo retângulo

Resposta

O triângulo formado é um triângulo retângulo

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Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(a) (3,6)
Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(f) (0,3,0)
Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(e) (-3,-4,5)
Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(a) (3,4,-5)