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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 8

Mostrar que todo o espaço vetorial sobre C também é um espaço vetorial sobre R .

Passo 1

A adição e a multiplicação em C é dada da seguinte forma:

a + b i + c + d i = a + c + b + d i

λ a + b i = λ a + a b i = ( a + b i ) λ

Para mostrar que C é um espaço vetorial sobre R precisaremos verificar as propriedades abaixo:

  • Adição interna ⨁ : para todo u , v ∈ C ,   temos que u ⨁ v ∈ C .

  • Multiplicação externa ⨂ : para todo λ   ∈   R ,   u ∈ C temos que   λ ⨂ u ∈ C  

Ah, vale lembrar que aqui estamos assumindo que   C é espaço vetorial sobre C , beleza? Poderíamos provar novamente aqui, mas não é o que a questão pede. Além disso, essa parte foi visto teoria do livro e todas aquelas propriedades para a soma e a multiplicação são válidas, show de bola?!

Então bora ver se esses dois tópicos acima são satisfeitos?!

Passo 2

Primeiro vamos verificar a adição interna: para todo u , v ∈ C ,   temos que u ⨁ v ∈ C .

Vamos considerar

u = a + b i ;   a , b   ∈ R

v = c + d i ;     c , d   ∈ R .

Assim,

u + v = a + b i + ( c + d i )  

= a + c + ( b + d ) i

Vale notar que a , c , b , d   ∈ R e a + c + b + d i ∈ C .

Ou seja, a soma interna está verificada!

Passo 3

Para verificar a multiplicação, vamos considerar

u = a + b i ;   a , b   ∈ R

λ   ∈   R

Daí,

λ u = λ a + b i = λ a + λ b i    

Vale notar que λ a   e λ b ∈ R e λ a + λ b i   ∈ C .

Portanto, a multiplicação externa também está verificada!

Logo, todo o espaço vetorial sobre C também é um espaço vetorial sobre R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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