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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 16

Nos exercícios 10-17, calcule o determinante da matriz dada reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas.

16. 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 - 1 3 2 3 0 0

Passo 1

Vamos escalonar a matriz:

Trocando a primeira com a ultima linha:

0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 - 1 3 2 3 0 0 = - - 1 / 3 2 / 3 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 0 1 1 1

Vamos tirar um fator comum da primeira linha do determinante, o - 1 / 3 :

- - 1 3 2 3 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 0 1 1 1 = - - 1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 0 1 1 1

Permutando a segunda com a ultima linha:

1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 0 1 1 1 = - 1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 2 3 1 3 1 3 0 1 2 1 2 1 1 2

- 2 / 3 vezes a primeira linha, somada na terceira:

- 1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 2 3 1 3 1 3 0 1 2 1 2 1 1 2 = - 1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 5 3 1 3 0 1 2 1 2 1 1 2

- 5 / 3 vezes a segunda linha, somada na terceira:

- 1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 5 3 1 3 0 1 2 1 2 1 1 2 = - 1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 - 4 3 - 5 3 1 2 1 2 1 1 2

Tirando o fator - 4 / 3 da terceira linha:

- 1 3 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 - 4 3 - 5 3 1 2 1 2 1 1 2 = - 1 3 - 4 3 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 1 2 1 2 1 1 2

- 1 / 2 vezes a primeira linha, somada na quarta:

4 9 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 1 2 1 2 1 1 2 = 4 9 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 3 2 1 1 2

- 3 / 2 vezes a segunda linha, somada na quarta:

4 9 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 3 2 1 1 2 = 4 9 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 0 - 1 2 - 1

½ vezes a terceira linha, somada na quarta:

4 9 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 0 - 1 2 - 1 = 4 9 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 0 0 - 3 8

Tirando o - 3 / 8 da ultima linha:

4 9 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 0 0 - 3 8 = 4 9 - 3 8 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 0 0 1

O determinante de uma matriz triangular é igual a multiplicação dos termos de sua diagonal principal. Então:

- 1 6 ⋅ 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 5 4 0 0 0 1 = - 1 6 ⋅ 1

Ou seja, a determinante dessa matriz é:

0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 - 1 3 2 3 0 0 = - 1 6

Resposta

0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 - 1 3 2 3 0 0 = - 1 6

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