Enunciado

3. Considere uma economia aberta descrita na tabela dada, onde o insumo é em unidades monetárias $ necessárias para $1,00 de produto.

  1. Encontre a matriz de consumo para essa economia.
  2. Suponha que o setor aberto tenha uma demanda no valor de $1.390 de moradia, $3.860 de alimento $5.790 de serviços. Use a redução por linhas para encontrar um vetor de produção que atenda essa demanda exatamente.

Passo 1

(a)

Os elementos da matriz de consumo estarão na mesma posição dos elementos da tabela:

$   0,10 $   0,60 $   0,40 $   0,30 $   0,20 $   0,30 $   0,40 $   0,10 $   0,20

Passo 2

(b)

Só precisamos usar a equação 2:

I - C x = d

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - $   0,10 $   0,60 $   0,40 $   0,30 $   0,20 $   0,30 $   0,40 $   0,10 $   0,20 x = 19 3 0 3860 5790

0 , 9 0 - 0,60 - 0,40 - 0,30 0 , 8 0 - 0,30 - 0,40 - 0,10 0 , 8 0 x = 1 93 0 3860 5790

Passo 3

Agora é só resolver o sistema, escrevendo a matriz estendida:

0,90 - 0,60 - 0,40 - 0,30 0,80 - 0,30 - 0,40 - 0,10 0,80 1 93 0 3860 5790

Escalonando ela:

Dividindo a primeira linha por 0,9:

1 - 2 / 3 - 4 / 9 - 0,30 0,80 - 0,30 - 0,40 - 0,10 0,80 1 9 3 00 / 9 3860 5790

Somando 0,30 vezes a primeria linha na segunda:

1 - 2 / 3 - 4 / 9 0 0 , 6 0 - 1 3 / 3 0 - 0,40 - 0,10 0,80 19 3 00 / 9 1 3510 / 3 5790

Dividindo a segunda linha por 0,6:

1 - 2 / 3 - 4 / 9 0 1 - 13 / 18 - 0,40 - 0,10 0,80 19 3 00 / 9 67550 / 9 5790

Somando 0,4 vezes a primeira linha na terceira: 1 - 2 / 3 - 4 / 9 0 1 - 13 / 18 0 - 1 1 / 3 0 2 8 / 45 19300 / 9 67550 / 9 59 83 0 / 9

Somando 11/30 vezes a segunda linha na terceira: 1 - 2 / 3 - 4 / 9 0 1 - 13 / 18 0 0 193 / 540 19300 / 9 67550 / 9 253795 / 27

Multiplicando a ultima linha por 540/193:

1 - 2 / 3 - 4 / 9 0 1 - 13 / 18 0 0 1 19300 / 9 67550 / 9 26300

Perceba que encontramos um valor exato ali na ultima linha, se estivéssemos usando aproximações no lugar das frações poderíamos chegar em um resultado não tão exato.

Somando 13/18 vezes a terceira linha na segunda:

1 - 2 / 3 - 4 / 9 0 1 0 0 0 1 19300 / 9 2 6 50 0 26300

Somando 4/9 vezes a ultima linha na primeira:

1 - 2 / 3 0 0 1 0 0 0 1 4 1 5 00 / 3 26500 26300

Somando 2/3 vezes a segunda linha na primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1500 26500 26300

Ou seja o vetor produção é igual a:

$   31500 $   26500 $   26300

Onde a primeira linha é da moradia, a segunda do alimento e a terceira do serviço.

Resposta

a)

$   0,10 $   0,60 $   0,40 $   0,30 $   0,20 $   0,30 $   0,40 $   0,10 $   0,20

b)

$   31500 $   26500 $   26300

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (b)Se A é uma matriz nxn e B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k em que
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , … , E n = 0 0 0 ⋮ 1 matrizes nx1 . (a) Mostre que se A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n é uma matriz mxn , então A E j é igua
Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n = I n A = A para qualquer matriz A ,nxn . (Sugestão: Seja J n uma matriz tal que A J n = J n A = A . Mostre que J n = I n
Sejam A e B matrizes mxp e pxn , respectivamente. (b)Mostre que a i -ésima linha do produto A B é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i -ésima linha de A , ou seja, se A = A 1 A 2
(a)Determine todas as matrizes A , 2 x 2 , que comutam com toda matriz B , 2 x 2 , ou seja, tais que A B = B A , para toda matriz B ,2 x 2 .