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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 8b

(a)Determine todas as matrizes A , 2 x 2 , que comutam com toda matriz B , 2 x 2 , ou seja, tais que A B = B A , para toda matriz B ,   2 x 2 .

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo na paz? 😊

Uma matriz A , diagonal e 2 x 2 é dada por:

A = a 11 a 12 a 21 a 22

Uma matriz B , 2 x 2 , é dada por:

B = b 11 b 12 b 21 b 22

Passo 2

O produto de matrizes A B é:

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

O produto de matrizes B A é:

B A = b 11 b 12 b 21 b 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = b 11 a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22 b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22

Passo 3

Portanto, para que a igualdade seja verdadeira:

A B = B A

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 = b 11 a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22 b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22

Precisamos que:

a 1 2 = a 11

b 21 = b 12

b 11 = b 22

a 22 = a 11

Assim, para que ocorra a comutatividade, A deve ser do tipo:

A = a 11 0 0 a 11

Resposta

A = a 11 0 0 a 11

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