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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 15a

Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , … , E n = 0 0 0 ⋮ 1 matrizes n   x   1 . (a) Mostre que se A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n é uma matriz m   x   n , então A E j é igual a coluna j da matriz A .

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo na paz? 😊

O produto entre as matrizes, para j = 1 , é dado por:

A E 1 = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n 1 0 0 ⋮ 0 = a 11 + a 12 0 + … + a 1 n 0 a 21 + a 22 0 + … + a 2 n 0 ⋮ a m 1 + a m 2 0 + … + a m n 0

A E 1 = a 11 a 21 ⋮ a m 1

Passo 2

Para j = n , temos:

A E n = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n 0 0 0 ⋮ 1 = a 11 0 + a 12 0 + … + a 1 n a 21 0 + a 22 0 + … + a 2 n ⋮ a m 1 + a m 2 0 + … + a m n

A E n = a 1 n a 2 n ⋮ a m n

Passo 3

Portanto, o produto matricial A E j , para j = 1 , … , n é igual a coluna j da matriz A :

A E j = A j

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Verifique que p o s (A) = p o s ( A^T ) . A = [[[,,,1,2,4,0],[-,3,1,5,2],[-,2,3,1,9,2]]]
Prove: se uma matriz A não for quadrada, então ou os vetores linha ou os vetores coluna de A são linearmente dependentes.
Seja A =a 11a 1 2a 1 3a 2 1a 22a 23 Mostre que A tem posto 2 se, e só se, um ou mais dos determinantesa 11a 12a 21a 22 , a 11a 13a 21a 23 , a 12a 13a 22a 23 é não nulo.
Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz a equação A 3 + 4 A 2 - 2 A + 7 I = 0 Então A T também satisfaz essa equação.
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