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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 4

Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

  • T : M n n → R , sendo   T A = t r A .

    • Passo 1

    Desejamos verificar se a transformação dada é uma transformação linear, mas aí fica o questionamento: o que é uma transformação linear?

    Pois bem, uma transformação linear é uma transformação que deve atender a dois requisitos que são:

  • Multiplicação por um escalar: T k u = k ⋅ T ( u ) , onde k é um escalar.
  • Linearidade: T u + v = T u + T v

Passo 1

Dadas as considerações acima vamos verificar se nossa transformação é linear ou não. Primeiramente vamos tomar uma matriz genérica 2 × 2 para exemplificar

A = a b c d

O traço da nossa matriz A t r A será dado por

t r A = a + d

Então vamos verificar nossa primeira condição

T k A = t r k A = k a + k d = k ⋅ a + d = k ⋅ T A

Estamos em um bom caminho tendo em vista que a nossa primeira condição calculada acima pode ser generalizada para toda matriz quadrada de dimensão n × n , agora vamos verificar nossa segunda condição e para isso vamos pegar uma segunda matriz genérica B de dimensão 2 × 2 dada por

B = e f g h

Dessa forma, teremos

A + B = a + e b + f c + g d + h

Por fim, podemos testar a segunda condição fazendo

T A + B = t r A + B = a + e + d + h = a + d + ( e + h )

t r A + t r B

Portanto, nossa transformação como foi dada é linear.

Resposta

S i m ,   é   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

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